高中数学 同步复习 7.1 复数的概念 01 知识剖析 知识点1 数系的扩充和复数的概念 壹 1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入? 为了解决????2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①????2=?1，即i是方程????2+1=0的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程????2+1=0在复数集C中就有解x=i了. ? 知识点1 数系的扩充和复数的概念 壹 (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即?????????. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数 ? 知识点1 数系的扩充和复数的概念 壹 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 知识点2 复数的几何意义 壹 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi一一对应有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)一一对应平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. ? 知识点2 复数的几何意义 壹 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. 知识点2 复数的几何意义 壹 (2)复数的几何意义———与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi一一对应复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义———与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. ? 知识点2 复数的几何意义 壹 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量????????由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量????????唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi一一对应平面向量，这是复数的另一种几何意义. ? 知识点2 复数的几何意义 壹 2．复数的模 向量????????的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=????2+????2(r≥0,r∈R). 3．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也复数????的共轭复数用表示，即若????=?????????????，则.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. ? 知识点2 复数的几何意义 壹 (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复 平面内所对应的点重合，且在实轴上. ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
