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课件网) 高中数学 同步复习 7.3 复数的三角表示式 01 知识剖析 知识点1 复数的三角表示式 壹 1．复数的三角表示式 (1)复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z. 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式. 知识点1 复数的三角表示式 壹 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模， 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且 , 三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 知识点1 复数的三角表示式 壹 (2)辅角的主值 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是 ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz，即0≤argz<2π. (3)三角形式下的复数相等 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 知识点2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 壹 1．复数乘法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数乘法运算的三角表示 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 ， 即. 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. 知识点2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 壹 (2)几何意义 两个复数z1，z2相乘时，可以像图那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义. 知识点2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 壹 2．复数除法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数除法运算的三角表示 设，，且，因为 ，所以根据复数除法的定义，有. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐 角减去除数的辐角所得的差. 知识点2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 壹 (2)几何意义 如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，然后把向量绕点O按 顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义. 02 考点演练 考点1 复数的代数形式与三角形式互化 壹 复数 +i的三角形式为（ ） A．2(cos+isin) B．2(cos+isin) C．cos+isin D．cos+isin 考点1 复数的代数形式与三角形式互化 壹 【答案】B 【解答】解：∵cos=-，sin=， ∴2(cos+isin)= 1+i，cos+isin= +i，故A，C错误； ∵cos= ，sin=， ∴2(cos+isin)= +i，cos+isin= +i，故B正确，D错误． 故选：B． 考点1 复数的代数形式与三角形式互化 壹 复数z＝1+cosα+isinα（π＜α＜2π），则|z|为（ ） A．2cos B． 2cos C．2sin D． 2sin 考点1 复数的代数形式与三角形式互化 壹 【答案】B 【解答】解：由复数z＝1+cosα+isinα，得 ， ∵π＜α＜2π，∴cos＜0，则|z|＝﹣2cos． 故选：B． 考点1 复数的代数形式与三角形式互化 壹 复数z=2(cos+isin)的虚部是（ ） A．sin B．1 C．z=2cos D．i 考点1 复数的代数形式与三角形式互化 壹 【答案】B 【解答】解：z=2(cos+isin)=2（+i）=+i， 所以该复数的虚部1． 故选：B． 考点2 复数的辐角和辐角主值 壹 复数z= sin+icos的辐角 ... ...
