7.3 复数的三角表示 ▉【知识点1 复数的三角表示式】 1．复数的三角表示式 (1)复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z. 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式. 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模，) 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且 三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 (2)辅角的主值 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是 ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz，即0≤argz<2π. (3)三角形式下的复数相等 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. ▉【知识点2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义】 1．复数乘法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数乘法运算的三角表示 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 ， 即. 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. (2)几何意义 两个复数z1，z2相乘时，可以像图那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量 绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义. 2．复数除法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数除法运算的三角表示 设，，且，因为，所以根据复数除法的定义，有. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐 角减去除数的辐角所得的差. (2)几何意义 如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按 顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义. ▉一．复数的代数形式与三角形式互化（共23小题） 1．复数的三角形式为（ ） A． B． C． D． 2．复数z＝1+cosα+isinα（π＜α＜2π），则|z|为（ ） A． B． C． D． 3．复数的三角形式是（ ） A．cos60°+isin60° B．﹣cos60°+isin60° C．cos120°+isin60° D．cos120°+isin120° 4．复数的虚部是（ ） A． B．1 C． D．i 5．若θ∈（，π），则复数（1+i）（cosθ﹣isinθ）的三角形式是（ ） A．[cos（θ）+isin（θ）] B．[cos（2π﹣θ）+isin（2π﹣θ）] C．[cos（θ）+isin（θ）] D．[cos（θ）+isin（θ）] 6．复数zi的三角形式是（ ） A． B． C． D． 7．的三角形式是（ ） A． B． C． D． 8．复数（sin10°+icos10°）（sin10°+icos10°）的三角形式是（ ） A．sin30°+icos30° B．cos160°+isin160° C．cos30°+isin30° D．sin160°+icos160° 9．复数z＝﹣3（cosisin）（i是虚数单位）的三角形式是（ ） A．3[cos（）+isin（）] B．3（cosisin） C．3（cos）+isin） D．3（cosisin） 10．复数的三角形式是（ ） A． B． C． D． 11．复数cos60°+isin30°的三角形式是（ ） A．cos60°+isin30° B．cos60°+isin60° C．（cos45°+isin45°） D．cos45°+isin45° 12．已知复数z的模为2，虚部为﹣1，则z的三角形式是（ ） A．2（cosisin） B．2（cosisin） C．2（cosisin ... ...
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