8.2 立体图形的直观图2025-2026高中数学必修二高一下同步复习讲义

8.2 立体图形的直观图 ▉【知识点1 立体图形的直观图】 1．空间几何体的直观图 (1)直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全 在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同. 在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形. (2)斜二测画法及其步骤 利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其 步骤是： ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y' 轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=(或)，它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段. ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度 为原来的一半. (3)旋转体及其相关概念 斜二测画法画空间几何体的直观图的规则 画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且有 以下规则. ①已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段. ②已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原 来的一半. ③连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 2．平面图形的面积与其直观图的面积间的关系 (1)以三角形为例，则有.如图所示，，它的直观图的面积 . (2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：=.即若记一个平面多边形的面积为S原，由斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原. 3．斜二测画法的常用结论： (1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：. ▉一．中心投影及中心投影作图法（共1小题） 1．下列物品：①探照灯；②车灯；③太阳；④月亮；⑤台灯 中，所形成的投影是中心投影的是　①②⑤　 ．（填序号） 【答案】①②⑤ 【解答】解：探照灯、车灯、台灯的光线是由源发出的光线，是中心投影； 太阳、月亮距离地球很远，我们认为是平行光线，因此不是中心投影． 故答案为：①②⑤． ▉二．平行投影及平行投影作图法（共12小题） 2．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在（　　） A．直线AC上 B．直线BC上 C．直线AB上 D．△ABC内部 【答案】C 【解答】解：连接AC1，如图所示． ∵∠BAC＝90°， ∴AB⊥AC． ∵AB⊥AC，BC1⊥AC，AB∩BC1＝B，AB，BC1 平面ABC1， ∴AC⊥平面ABC1． 又AC 平面ABC， ∴平面ABC1⊥平面ABC． 又∵平面ABC1∩平面ABC＝AB， ∴点C1在底面ABC上的射影H必在直线AB上． 故选：C． 3．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体 【答案】C 【解答】解：∵各个截面都是圆， ∴这个几何体一定是球体， 故选：C． 4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（　　） A．①④ B．②③ C．②④ D．①② 【答案】A 【解答】解：从上下方向上看，△PAC的投影为①图所示的情况； 从左右方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况； 从前后方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况； 故选：A． 5．两条不平行的直线，其平行投影不可能是（　　） A．两条平行直线 B．一点和一条直线 C．两条相交直线 D．两个点 【答案 ... ...