9.2 用样本估计总体 ▉考点01 总体取值规律的估计 1．频率分布直方图 (1)频率分布表与频率分布直方图的意义 为了探索一组数据的取值规律，一般先要用表格对数据进行整理，或者用图将数据直观表示出来.在初中，我们曾用频数分布表和频数分布图来整理和表示这种数值型数据，由此能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数. 有时，我们更关心各个小组的数据在样本容量中所占比例的大小，所以选择频率分布表和频率分布直方图来整理和表示数据. (2)频率分布表与频率分布直方图的制作步骤 与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图. 第一步，求极差 极差为一组数据中最大值与最小值的差. 第二步，决定组距与组数 第三步，将数据分组 通常对组内数据取左闭右开区间，最后一组数据取闭区间. 第四步，列频率分布表 计算各小组的频率，作出频率分布表. 第五步，画频率分布直方图 画图时，以横轴表示分组，纵轴（小长方形的高度）表示. 2．其他几类常用统计图———条形图、折线图、扇形图 条形图 折线图 扇形图 特 点 一般地，条形图中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例，条形图中每一长方形都是等宽的. 用一个单位长度表示一定的数量，用折线的起伏表示数量的增减变化. 用整个圆表示总体，扇形图中，每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比. 作用及选用情景 能清楚地表示每个项目的具体数量，便于相互比较大小. 能清楚地看出数量增减变化的情况及各部分数量的多少.常用来表示随时间变化的数据，当然，也可以用在其他合适的情形中. 可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况. 图例 ▉考点02 总体百分位数、集中趋势与离散程度的估计 1．总体百分位数的估计 (1)概念 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. (2)求解步骤 可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数： 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算i=n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 2．总体集中趋势的估计 在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.具体概念回顾如下： 名称 概念 平 均 数 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么就是这组数据的平均数，用表示，即. 中 位 数 将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数. 众 数 一组数据中出现次数最多的数据（即频数最大值所对应的样本数据）称为这组数据的众数. 3．总体离散程度的估计 (1)方差和标准差 假设一组数据是，，，，用表示这组数据的平均数，则我们称为这组数据的方差.有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式. 我们对方差开平方，取它的算数平方根，称为这组数据的标准差. (2)总体（样本）方差和总体标准差 ①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则总体方差 . ②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为，其中出 现的频数为，则总体方差为. 总体标准差：S=. (3)标准差与方差的统计意义 ①标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. ②在刻画数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差. ③标准差(方差)的取值范围为[0,+ ... ...
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