第八章专题02 实数及其运算【知识串讲+九大考点】-2025-2026学年七年级数学下册重难考点强化训练（人教版2024）（原卷+解析卷）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题02 实数及其运算 （一）实数概念及分类 （1）实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数或无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 正实数 实数 0 负实数 整数包括正整数、零、负整数。 零和正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 （2）无理数归类 ①开方开不尽的数，如等； ②有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等； ③有特定结构的数，如0.1010010001…等； （二）实数的大小比较 （1）实数与数轴上点的关系： 每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来， 数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数， 实数与数轴上的点就是一一对应的 （2）实数大小的比较常用方法： ①数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 ②求差比较：设a、b是实数， ③求商比较法：设a、b是两正实数， ④绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。 ⑥平方法：设a、b是两负实数，则。 （三）实数的运算 （1）运算定律 ①加法交换律 ②加法结合律 ③乘法交换律 ④乘法结合律 ⑤乘法分配律 （2）实数混合运算运算顺序： 实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。 （四）实数非负性考查 （1）在实数范围内，正数和零统称为非负数。 （2）非负数有三种形式 ①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； ②任何一个实数a的平方是非负数，即≥0； ③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0 （3）非负数具有以下性质 ①非负数有最小值零； ②非负数之和仍是非负数； ③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0 考点1：实数的分类 典例1：下列实数中，有（ ）个有理数． 、、、、、9、0.01001000100001… A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的分类 【分析】此题考查了实数的分类，把需要化简的数化简后，进行判断即可. 【详解】解：，，， 在、、、、、9、0.01001000100001…中，、、、9是有理数，共4个， 故选：C 【变式1】下列各数：，，，， ，，0.585885888588885…（相邻两个5 之间8的个数逐次加1）中，无理数有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】求一个数的立方根、无理数、实数的分类 【分析】根据无理数的常见形式①最终结果含有开方开不尽的数，②最终结果含有的数，③形如（每两个增加一个），进行逐一判断即可． 【详解】解：为整数，是有理数；，，为分数，是有理数； 是最终结果含有开方开不尽的数，是无理数； 最终结果含有的数，是无理数； 0.585885888588885…（相邻两个5 之间8的个数逐次加1）是无理数． 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的常见形式是解题的关键． 【变式2】 已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_____，分数有：_____，无理数有：_____．（只需填写序号） 【答案】，， 【知识点】有理数的定义、求一个数的算术平方根、无理数、实数的分类 【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数和无理数的定义，求一个数的算术平方根等知识点，熟练掌握实数的分类及有理数和无理数的定义是解题的关键． 根据有理数和无理数统称实数，分数和整数统称有理数，无限不循环小数是无理数进行分类即可． 【详解】解：， 由题意可得， 整数有：， 分数有：， 无理数有：， 故答案为：，，． 【变式3】把下列各数填入相应的横线内： ，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两 ... ...