等腰三角形的判定 教学目标 1、理解等腰三角形的判定与证明，掌握等腰三角形的判定。 2、区分等腰三角形的性质与判定，并能正确应用。 3、让学生参与探索发现，领略知识形成过程。让学生学会用等腰三角形判定来证明两条线段相等，它是三角形中直角相等转化为边相等的重要依据。 4、在体验中获得成功，增加学生学习数学的自信心。在自主探索和合作交流中，培养学生善于合作、团结互助的精神。通过学习，提高逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力。 重点：等腰三角形的判定及其应用。 难点：等腰三角形的判定的证明与应用。 教学过程： 一、新课探索 问题引入： 如图，C表示灯塔，轮船从A处出发以每小时 18海里的速度向AN方向航行，测得∠CAN=40°， ∠CBN=80°，2小时后到达B处，求B处到灯塔C 的距离。 解：∵ ∠CBN=∠C+∠A（三角形的一个角等于和它不相邻的两个外角的和） ∴ ∠C=∠CBN－∠A（等式性质） 又∵ ∠CBN=80°，∠A=40°（已知） ∴ ∠C=80°－40°=40°（等量代换） ∴ ∠A=∠C（等量代换） ∴ BC=AB（等角对等边） ∵ AB=18×2=36（已知） ∴ BC=36（等量代换） ∴ B处到灯塔C的距离为36海里。 探索等腰三角形的判定 操作：用直尺和量角器画一个等腰三角形（多种方法） A：画两条边相等 B：画两个角相等 C：画一线段，在线段的中垂上取一点 论证： 已知：△ABC中，∠B=∠C。则AB=AC吗？ 解：作∠BAC的平分线AD，则∠1=∠2， 沿AD翻折，AB落在AC上。 ∵ 在△ABD中，∠1＋∠B＋∠ADB=180° ∴ ∠ADB=180°－∠1－∠B 同理∠ADC=180°－∠2－∠C 又∵ ∠1=∠2，∠B=∠C ∴ ∠ADB=∠ADC 沿AD翻折，BD落在DC上。 （∴ AB和BD的交点B落在AC与DC的交点C上，即B与C重合） ∴ AB=AC。 结论： 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形，简称：等边对等角。 数学表达式：∵ 在△ABC中，∠B=∠C。 ∴ AB=AC（等角对等边） 4、如图，下列推理正确吗？ （1） （2） 1） ∵ ∠BAD=∠DAC 2） ∵ ∠ACD=∠ACB ∴ BD=DC ∴ DC=BC （等角对等边） （等角对等边） 强调大前提：在一个三角形中。 5、等腰三角形性质与判定的区别与联系： 条 件 结 论 性 质 两条边相等（∵ AB=AC） 这两条边所对的两个角相等（∴ ∠B=∠C） 判 定 两个角相等（∵ ∠B=∠C） 这两个角所对的两条边相等（∴ AB=AC） （三）等腰三角形的判定的应用： 例1，在△ABC中，∠A=40 ，∠B=70 1）∠C等于几度？； 2）若AB=10cm，求AC的长； 3）△ABC是轴对称图形吗？如果是，说出它的对称轴。 解：1）∵ 在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C=180°（三角形内角和为180°） ∴ ∠C=180°－∠A－∠B（等式性质） 又∵ ∠A=40 ，∠B=70 （已知） ∴ ∠C=180°－40 －70 =70 （等量代换） 2）∵ ∠C=70°（已求），∠B=70 （已知） ∴ ∠B=∠C（等量代换）A ∴ AB=AC（等角对等边） 又∵ ∠A=10cm（已知） ∴ AC=10 cm（等量代换） 3）∵AB=AC ∴△ABC是等腰三角形 ∴△ABC是轴对称图形 过点A作AD⊥BC，垂足为D，则直线AD是△ABC的对称轴。 例2，已知△ABC中，DE∥BC，BE平分∠ABC， 问图中哪个三角形为等腰三角形？为什么？ 解：∵ DE∥BC（已知） ∴ ∠1=∠2（两直线平行，内错角相等） ∵ BE平分∠ABC（已知） ∴ ∠2=∠3（角平分线定义） ∴ ∠1=∠3（等量代换） ∴ BD=DE（等角对等边） 即△BDE是等腰三角形。 结论：角平分线和平行线通常构成等腰三角形。 变式1：若增加条件：AB=AC，图中有哪几个等腰三角形？为什么？ 变式2：若增加条件：AB=AC，∠A=36°，图中有哪几个等腰三角形？为什么？ 二、课内练习 已知△ABC中，AD⊥BC，∠B=63 ，∠BAC=54 。 问：⑴△ABC是什么三角形？ ⑵若BD=5cm，求BC的长。 ... ...
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