2026学年九年级中考数学一轮专题复习三十八：圆中的相似三角形综合训练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2026学年九年级中考数学一轮专题复习三十八：圆中的相似三角形综合训练 1．如图，是半圆的直径，为半圆弧上一点，连接，垂足为是上一点，连接并延长交于点，垂足为． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，当是中点时，请直接写出的最大值． 2．如图，四边形内接于，满足，连接 ，，延长，交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，，的长为_____． 3．如图，在中，，是的外接圆，是的直径，与交于点，在的延长线上取一点，连接，使平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 4．如图，为半圆的直径，为延长线上一点，为的中点．连结并延长，交延长线于点，且． (1)求证：是的切线． (2)若，． ①求的半径． ②求的长． 5．如图，是的直径，点是上异于A，B的点，连接，，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 6．如图，是的直径，为外一点，，连接交于点，过点作，交于点，过点作交于点，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 7．如图，是的直径，点C为上一点，连接，点D在的延长线上，点E在上，过点E作的垂线分别交的延长线于点F，交于点G，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：． (3)若，，求的长． 8．如图，在中，，以的中点为圆心、为半径的圆交于点，点是的中点，连接，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． (3)求证：． 9．如图，在中，，点O在边上，与相切于点D，与相交于A，E两点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． 10．如图，在中，，以为直径作交于点，过点作于点，交延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 11．如图，是半圆O的直径，，切半圆于点D，，交的延长线于F，交的延长于点E． (1)求证：； (2)若，，求点C到的距离． 12．如图，是中的中点，点在上，交于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 13．已知锐角的外心为，重心为（三条中线的交点），垂心为（三条高线的交点），点为边的中点． (1)求的值； (2)求证：，，三点共线并求出的值． 14．如图，已知四边形内接于，直径交于点． (1)如图，求证：； (2)如图，连接，当时，求证：； (3)如图，在（）的条件下，交于点，，，，求的面积． 15．如图，在中，，是边上的点，过点作，交于点，过点作，交于点，经过点、、的与、的另一个公共点分别为、，连接、、． (1)求证：； (2)若，， ①当时，求的长； ②若恰为的直径，则的长为 ． 参考答案 1．【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ （3）解：当是中点时，则， 由（2）可知，， ∴， 过点作于点G，过点作于点H， 则四边形是矩形， ∴ 根据垂径定理得到，， ∴, 即的最大值为． 2．【解】（1）解：，， ， ， ； （2）证明：四边形内接于， ， ， ， 又， ； （3）解：如图所示，过点作于点， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， 由（2）得， ， ，即， ， ， ， 由（2）得，， ，即， ． 故答案为：． 3．【详解】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 即， 是的切线； （2）解：，， ， 由（1）知，，， ， 即， 又， ， ， 即， 解得， 是的直径， ， ． 4．【详解】（1）证明：连结，， 是中点， ， ∴， ∵， ， ， ， ， ∵是的半径， 是的切线； （2）①解：设的半径为，则，， ， ， 即， ， 即的半径为3． ②解：连结交于点． 是直径， ， 四边形是矩形， ，， ， ，即， ， ． 5．【详解】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， 又， ，即， ， 又是的半径， 是的切线． （2）解：由， 可设，则， ，， ， ． 又， ， ，即． 解得， ... ...