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课件网) 第三章 函数的概念与性质 3.3 幂函数 一、幂函数的概念 一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 预习教材新知 y＝xα 三、五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞） 值域 R R 奇偶性 单调性 增 在[0，＋∞） 上 ， 在（－∞，0] 上 在（0，＋∞） 上 ， 在（－∞，0） 上 {x｜x≠0} [0，＋∞） [0，＋∞） {y｜y≠0} 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 增 减 增 增 减 减 记一记：（1）所有的幂函数在（0，＋∞）上都有定义，并且图象都过点 （1，1）. （2）α＞0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞）上单调递增.特 别地，当α＞1时，幂函数的图象下凸；当0＜α＜1时，幂函数的图象上凸. （3）α＜0时，幂函数在区间（0，＋∞）上单调递减.在第一象限内，当x从 右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时， 图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. （4）任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的 图象都不过第四象限. D 2. 已知幂函数f（x）＝（m2－3）xm在区间（0，＋∞）是递减函数，则m ＝ . 解析：由题意可知m2－3＝1，所以m＝±2，又由于在区间（0，＋∞）是递 减函数，所以m＝－2. －2 3. 下列函数中的幂函数有 .（填充号） ①y＝x0；②y＝（x＋1）3；③y＝2x；④y＝x－1；⑤y＝x4＋1. 解析：由幂函数的定义可知，①④是幂函数；②③⑤不是幂函数. ①④ 课堂互动探究 幂函数的概念 A. y＝x0 B. y＝x－2 C. y＝（x＋1）2 解析：形如y＝xα（α为常数）的函数为幂函数，所以只有y＝x0和y＝x－2为 幂函数. AB A. 2 B. 3 C. 128 D. 512 A 解：∵函数y为幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则 y＝x－3，且有x≠0；当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y＝x－3，定义域为{x｜x≠0}或y＝x0，定义域为 {x｜x≠0}. 幂函数的判断及应用 （1）判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα（α为常数） 的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1. （2）若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα（α为常数）这一形式. 幂函数的图象及应用 在同一坐标系中作出函数f（x）＝x2和g（x）＝x－2的图象（如图所示），观察图象可得， （1）当x＞1或x＜－1时，f（x）＞g（x）； （2）当x＝1或x＝－1时，f（x）＝g（x）； （3）当－1＜x＜1且x≠0时，f（x）＜g（x）. A. a＞b＞c＞d B. b＞c＞d＞a C. d＞b＞c＞a D. c＞b＞d＞a B 解析：由幂函数的图象特征可知，a＜0，b＞0，c＞0，d＞0.由幂函数的 性质知，当x＞1时，幂指数越大的幂函数的增长速度越快，则b＞c＞1＞ d.故b＞c＞d＞a. 总结：解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα（α是常数），由于α的取值不 同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同.同时，注意分类讨论思想的 应用. 【例2】（1）已知幂函数f（x）的图象过点（－2，－8），且f（a＋1）≤ －f（a－3），则实数a的取值范围是 . 解析：设f（x）＝xα，则f（－2）＝（－2）α＝－8，得α＝3，所以f（x） ＝x3.容易判断f（x）是定义在R上的增函数，且为奇函数，所以由f（a＋ 1）≤－f（a－3），得f（a＋1）≤f（3－a），得a＋1≤3－a，解得 a≤1，故实数a的取值范围是（－∞，1]. 比较幂值的大小 （－∞，1] （2）比较下列各组数中两个数的大小. A. c＜a＜b B. a＜c＜b C. b＜a＜c D. c＜b＜a D 直接法 当幂的指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较 转化法 当幂的指数不相同时，可以先转化为相同幂 ... ...
