《创新课堂》第五章培优课　两个经典不等式ex≥x＋1、ln x≤x－1的证明及应用 练习 高中数学选修2同步讲练测

培优课　两个经典不等式ex≥x＋1、ln x≤x－1的证明及应用 1.已知m，n都是正整数，且em＋ln n＜m＋n，则（　　） A.n＞em B.m＞em C.n＜em D.m＞en 2.若对于任意正实数x，y，不等式4ax≤ex＋y－2＋ex－y－2＋2恒成立，则实数a的最大值是（　　） A.－ B.0 C. D.1 3.“x＞1”是“ln x＞”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知实数a，b满足2ln a－e2b≥a2－2b－2（e为自然对数的底数），则a＋2b＝（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 5.〔多选〕经研究发现：任意一个三次多项式函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的图象上都有且只有一个对称中心点（x0，f（x0）），其中x0是f″（x）＝0的根，f'（x）是f（x）的导数，f″（x）是f'（x）的导数.若函数f（x）＝x3＋ax2＋x＋b图象的对称中心点为（－1，2），且不等式ex－mxe·（ln x＋1）≥[f（x）－x3－3x2＋e]xe对任意x∈（1，＋∞）恒成立，则（　　） A.a＝3 B.b＝2 C.m的值可能是－e D.m的值不可能是－ 6.已知实数a，b，c满足ea＋c＋e2b－c－1≤a＋2b＋1（e为自然对数的底数），则a2＋b2的最小值是　　　　. 7.已知对任意的x＞0，不等式xex－ln x－ax≥1恒成立，则实数a的取值范围为　　　　. 8.已知函数f（x）＝ex－ln（x＋2），求证：f（x）＞0. 9.设函数f（x）＝ln x－x＋1. （1）讨论f（x）的单调性； （2）证明：当x∈（1，＋∞）时，1＜＜x. 10.已知函数f（x）＝ex－a. （1）若函数f（x）的图象与直线l：y＝x－1相切，求a的值； （2）若f（x）－ln x＞0恒成立，求整数a的最大值. 1 / 1重点解读 1.熟悉常见的两类经典不等式ex≥x＋1和ln x≤x－1以及它们常见的几种变形形式（逻辑推理）. 2.掌握一般的证明不等式的方法（逻辑推理、数学运算）. 　　 一、经典不等式ex≥x＋1 【例1】　证明不等式ex≥x＋1. 证明：设f（x）＝ex－x－1，则f'（x）＝ex－1，由f'（x）＝0，得x＝0， 所以当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0， 所以f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增， 所以f（x）≥f（0）＝0，即ex－x－1≥0， 所以ex≥x＋1. 变式　证明不等式ex≥ex. 证明：设f（x）＝ex－ex， 则f'（x）＝ex－e，且f'（1）＝0， 当x＞1时，f'（x）＞0；当x＜1时，f'（x）＜0. ∴f（x）在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增， ∴f（x）min＝f（1）＝0，∴f（x）≥0，即ex≥ex. 【规律方法】 与ex有关的常用不等式 （1）ex≥x＋1（x∈R，当x＝0时，等号成立）； （2）ex≥ex（x∈R，当x＝1时，等号成立）； （3）ex≤（x＜1，当x＝0时，等号成立）； （4）xex＝ex＋ln x≥x＋ln x＋1； （5）＝ex－ln x≥x－ln x＋1. 训练1　设函数f（x）＝1－e－x，求证：当x＞－1时，f（x）≥. 证明：当x＞－1时，由ex≥1＋x＞0（证明略），可得≤.从而1－e－x≥1－，即1－e－x≥，所以f（x）≥. 二、经典不等式ln x≤x－1 【例2】　证明不等式ln x≤x－1. 证明：由题意知x＞0，令f（x）＝x－1－ln x， 所以f'（x）＝1－＝， 所以当f'（x）＞0时，x＞1； 当f'（x）＜0时，0＜x＜1， 故f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以f（x）有最小值f（1）＝0， 故有f（x）＝x－1－ln x≥f（1）＝0， 即ln x≤x－1成立. 变式　证明不等式ln（x＋1）≤x. 证明：由题意知x＞－1，令f（x）＝ln（x＋1）－x，所以f'（x）＝－1＝， 所以当f'（x）＞0时，－1＜x＜0； 当f'（x）＜0时，x＞0， 故f（x）在（－1，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，所以f（x）有最大值f（0）＝0， 故有f（x）＝ln（x＋1）－x≤f（0）＝0， 即ln（x＋1）≤x成立. 【规律方法】 与ln x有关的常用不等式 （1）≤ln x≤x－1（x＞ ... ...