(
课件网) 4．3 诱导公式与对称 新知学习 探究 PART 01 第一部分 南京眼和辽宁的生命之环均利用对称完美地展现了自己的和谐之美．而三角函数与(单位)圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，正弦函数、余弦函数的定义表明了圆中某些线段之间的关系．圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形． 思考 你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与－α，π±α有什么样的对称关系？ 提示：角α与角－α的终边关于x轴对称，角α与角π－α的终边关于y轴对称，角α与角π＋α的终边关于原点对称． －sin α cos α －sin α －cos α －sin α －cos α sin α －cos α 角度1 给角求值 (对接教材例6)求下列三角函数值． (1)cos 210°； (4)cos (－1 920°). 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 [跟踪训练1] 求下列各三角函数式的值． (1)sin 1 320°； √ 解决给值(式)求值问题的策略 (1)解决给值(式)求值问题，首先要仔细观察已知式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． √ (2)已知sin (α＋π)＝－0.3，则sin (2π－α)＝_____． 解析：因为sin (α＋π)＝－sin α＝－0.3，所以sin α＝0.3，所以sin (2π－α)＝－sin α＝－0.3. －0.3 利用诱导公式化简应注意的问题 (1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的． (2)化简时一定要注意函数的符号有没有改变． 1 1 √ 【解析】 因为f(3)＝a sin (3π＋α)＋b cos (3π＋β)＝－(asin α＋b cos β)＝1，所以a sin α＋b cos β＝－1. 所以f(2 024)＝a sin (2 024π＋α)＋b cos (2 024π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－1.故选A. √ 综合应用诱导公式解决求值或化简问题的思路是利用诱导公式将所求的角转化到已知区间上或转化为特殊角，然后由函数的结构特征推出所求函数值． [跟踪训练4] 对于任意角α有sin (nπ＋α)＝(－1)nsin α(n∈Z)，具体推导过程如下： 当n＝2k(k∈Z)时，由诱导公式有 sin (nπ＋α)＝sin (2kπ＋α)＝sin α＝(－1)2ksin α(k∈Z)； 当n＝2k＋1(k∈Z)时，由诱导公式有 sin (nπ＋α)＝sin (2kπ＋π＋α)＝－sin α＝(－1)2k＋1sin α(k∈Z). 综上，对任意角α有sin (nπ＋α)＝(－1)nsin α(n∈Z). 根据以上推导过程你能推导下列各式的结果吗？ (1)cos (nπ＋α)＝_____； (－1)ncos α(n∈Z) 解析：cos (nπ＋α)＝(－1)ncos α(n∈Z). ①当n＝2k(k∈Z)时，由诱导公式有 cos (nπ＋α)＝cos (2kπ＋α)＝cos α＝(－1)2kcos α(k∈Z)； ②当n＝2k＋1(k∈Z)时，由诱导公式有 cos (nπ＋α)＝cos (2kπ＋π＋α)＝－cos α＝(－1)2k＋1cos α(k∈Z). 综上，对任意角α有cos (nπ＋α)＝(－1)ncos α(n∈Z). (2)sin (nπ－α)＝_____； 解析：sin (nπ－α)＝(－1)n－1sin α(n∈Z). ①当n＝2k(k∈Z)时，由诱导公式有 sin (nπ－α)＝sin (2kπ－α)＝－sin α＝(－1)2k－1sin α(k∈Z)； ②当n＝2k＋1(k∈Z)时，由诱导公式有 sin (nπ－α)＝sin (2kπ＋π－α)＝sin α＝(－1)2ksin α(k∈Z). 综上，对任意角α有sin (nπ－α)＝(－1)n－1sin α(n∈Z). (－1)n－1sin α(n∈Z) (3)cos (nπ－α)＝_____． 解析：cos (nπ－α)＝(－1)ncos α(n∈Z). ①当n＝2k(k∈Z)时，由诱导公式有 cos (nπ－α)＝cos (2kπ－α)＝cos α＝(－1)2kcos α(k∈Z)； ②当n＝2k＋1(k∈Z)时，由诱导公式有 cos (nπ－α)＝cos (2kπ＋π－α)＝－cos α＝(－1)2k＋1cos α(k∈Z). 综上，对任意角α有 ... ...
