(
课件网) 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8．1 向量的数量积 8．1.1 向量数量积的概念 学习目标 1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． 2.理解向量投影的数量的含义及投影向量的含义． 新知学习 探究 PART 01 第一部分 前面我们学习了向量的加、减运算，类比数的运算，向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？让我们带着这些问题共同开启今天的探索之旅吧！ 如图，一物体在力F作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos α. 思考1 这个公式中哪些是向量，哪些是数量？ 提示：F(力)、s(位移)是向量；W(功)、α是数量． 思考2 你能用文字语言表述功的计算公式吗？ 提示：功是力与位移大小及其夹角余弦的乘积． 点拨 只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角． 非零 ∠AOB 垂直 (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． (2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2＜0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2＞0时，θ0＝θ. (1)(对接教材例1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求a·b； 【解】 由已知得a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝4×2×cos 120°＝－4. 定义法求平面向量的数量积 若已知两向量的模及其夹角θ，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． √ √ (1)(多选)已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中正确的是( ) A．|a·b|＝|a||b| a∥b B．a，b反向 a·b＝－|a||b| C.a⊥b |a＋b|＝|a－b| D．|a|＝|b| |a·c|＝|b·c| √ √ √ 【解析】 A中，设a与b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cos θ，所以由|a·b|＝|a||b|及a，b为非零向量可得|cos θ|＝1，所以θ＝0或π，所以a∥b，且以上各步均可逆，故A是真命题； B中，若a，b反向，则a，b的夹角为π，所以a·b＝|a||b|cos π＝－|a||b|，且以上各步均可逆，故B是真命题； C中，当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长度相等，即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的四边形为矩形，所以有a⊥b，因此C是真命题； D中，当|a|＝|b|时，如果a与c的夹角和b与c的夹角不相等，则|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|，故D是假命题． (2)已知|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－12，则〈a，b〉＝_____． π 60° 投影向量 投影 |a|cos〈a，b〉 (1)已知|a|＝8，|b|＝2，〈a，b〉＝120°，则向量a在b上的投影为( ) A．2 B．－2 C．2b D．－2b √ √ √ (2)已知平面向量|a|＝3，|b|＝2，且a·b＝2，则b在a上的投影为_____． 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ √ 解析：a·b＝0 a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误； 向量夹角的范围是[0，π]，所以B错误； 由数量积的性质知，C正确； √ √ 2 －2 1．已学习：向量的夹角、向量的数量积定义、投影． 2．须贯通：向量的数量积是一个实数，不是向量；向量a在向量b上的投影是一个向量，不是数；二者都离不开向量的夹角，而解决向量的夹角时要结合具体的图形，应用数形结合的思想方法． 3．应注意：(1)用几何法求两个向量的夹角时，两个向量需共起点； (2)向量a在向量b上的投影与向量b在向量a上的投影不同． ... ...
