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课件网) 10．2.2 复数的乘法与除法 1.掌握复数代数形式的乘、除运算． 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 学 习 目 标 新知学习 探究 PART 01 第一部分 我们知道，两个一次式相乘，有(ax＋b)·(cx＋d)＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd，复数的加、减法也可以看作多项式相加、减，类比多项式的乘法，能否得到复数的乘法法则？ 思考1 怎样定义复数的乘法？ 提示：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 思考2 猜想复数的乘法满足哪些运算律？ 提示：猜想，对于任意z1，z2，z3∈C，有： (1)交换律：z1z2＝z2z1； (2)结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)； (3)分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3. 一 复数的乘法 1．运算法则：一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_____． 2．运算律：对于任意复数z1，z2，z3，有 交换律 z1z2＝_____ 结合律 (z1z2)z3＝_____ 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝_____ (ac－bd)＋(ad＋bc)i z2z1 z1(z2z3) z1z2＋z1z3 计算： (1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i； (3)(a＋bi)(a－bi)(－a＋bi)(－a－bi)，其中a，b∈R. 【解】 (1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i. (3)(a＋bi)(a－bi)(－a＋bi)(－a－bi) ＝(a2＋b2)(a2＋b2)＝a4＋2a2b2＋b4. (1)两个复数代数形式乘法运算的一般方法 首先按多项式的乘法展开，再将i2换成－1，然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． (2)常用公式 ①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R). ②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R). ③(1±i)2＝±2i. [跟踪训练1] (1)复数z＝(－1＋3i)(1－i)在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：z＝(－1＋3i)(1－i)＝2＋4i，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限． √ √ √ √ √ (1)两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式； ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． √ √ √ z1＋z2＝－1，C错误； z1z2＝1，D正确． (2)已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根，则ab＝_____． 4 [跟踪训练3] (1)已知2i－3是关于x的方程x2＋6x＋q＝0(q∈R)的一个根，则该方程的另一个根为( ) A．2i＋3 B．－2i－3 C．2i－3 D．－2i＋3 解析：根据题意，方程的另一个根为－6－(2i－3)＝－3－2i.故选B. √ (2)若关于x的方程x2－kx＋3＝0有虚数根，则实数k的取值范围是_____． 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ √ √ √ 解析：易知两个虚数根的实部相等，虚部互为相反数，所以另一个根为－3－4i，A正确； 又(－3＋4i)(－3－4i)＝25＝q，即q＝25，又－6＝－p，解得p＝6，所以pq＝150，p－q＝－19，B错误，C正确； 1 5．已知2i＋a(a∈R)是方程2x2－12x＋b＝0的一个虚数根，则实数b＝_____． 26 1．已学习：复数代数形式的乘、除运算及复数范围内解方程． 2．须贯通：复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算；复数的除法运算要“分母实数化”，类似于实数运算的“分母有理化”；与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等把复数问题转化为实数问题求解，根与系数的关系仍然成立． 3．应注意：(1)在复数的运算中忽视i2＝－1造成运算失误； (2)实系数一元二次方程的虚 ... ...
