《创新课堂》4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(课件网) 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 1. 能结合教材探究了解无理数指数幂（数学抽象）. 2. 结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算性质（逻辑推理、数学运算）. 课标要求 情景导入 某大型国企2024年的生产总值为a，根据相关资料判断，未来20 年，该企业每一年的生产总值是上一年的 倍.据此回答下列问题. 　　（1）一年后，该企业的生产总值是多少？ 　　（2）五年后，该企业的生产总值是多少？ 知识点　无理数指数幂的运算 01 提能点一　实际问题中的指数运算 02 提能点二　实数指数幂的综合运用 03 目录 课时作业 04 知识点 无理数指数幂的运算 01 PART 问题　（1）阅读教材P108探究，思考 是不是一个确定的实数； 提示：5 是一串逐渐增大的有理数指数幂51.4，51.41，…和另一串逐渐减 小的有理数指数幂51.5，51.42，…逐步逼近的结果，它是一个确定的实数. （2）前面我们学习了有理数指数幂的运算性质①aras＝ar＋s（a＞0，r， s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞ 0，b＞0，r∈Q）.能否把r，s的取值范围由有理数推广到实数？ 提示：能把有理数指数幂的运算性质推广到实数指数幂运算. 【知识梳理】 1. 无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα（a＞0，α为无理数）是一个 确定的 . 2. 实数指数幂的运算法则 （1）aras＝ar＋s（a＞0，r，s∈R）； （2）（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈R）； （3）（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈R）； （4）拓展： ＝ar－s（a＞0，r，s∈R）. 　　提醒：对于无理数指数幂aα，特别强调底数a＞0，如果a＜0，比如 （－1 ，无法判断其值是1还是－1. 实数　 【例1】　化简下列各式： （1）π4－π·ππ－2；（2）（ ；（3） ×12 . 解：（1）π4－π·ππ－2＝π4－π＋π－2＝π2. （2）（ ＝ ＝π2－1＝π. （3） ×12 ＝ × ＝ ＝52＝25. 【规律方法】 关于无理数指数幂的运算技巧 （1）无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同； （2）若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根 式可以保留直接运算. 训练1　计算下列各式的值（式中字母均是正数）： （1）（ ；（2） a－π. 解：（1）原式＝（ · ＝26·m3＝64m3. （2）原式＝ ＝a0＝1. 提能点一 实际问题中的指数运算 02 PART 【例2】　从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混 合溶液后又用水加满，以此继续下去，则至少应倒 次后才能使酒精 的浓度低于10%. 解析：由题意，得第n次操作后溶液的浓度为 ，令 ＜ ，验 证可得n≥4.所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%. 4 【规律方法】 指数运算在实际问题中的应用 　　在成倍数递增（递减）、固定增长率等问题中，常常用到指数运算， 用来计算增减的次数、增减前后的数量等. 训练2　如果在某种细菌培养过程中，细菌每10分钟分裂一次（1个分裂成 2个），那么经过1小时，一个这种细菌可以分裂成 个. 解析：经过1小时可分裂6次，可分裂成26＝64（个）. 64 03 PART 提能点二 实数指数幂的综合运用 【例3】　已知 ＋ ＝ ，求下列各式的值： （1）a＋a－1； 解：将 ＋ ＝ 两边平方，得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3. （2）a2＋a－2. 解：将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，即a2＋a－2＝7. 变式　在本例条件下求a2－a－2的值. 解：令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝（a2＋a－2）2－4＝ 72－4＝45，∴y＝±3 ，即a2－a－2＝±3 . 【规律方法】 利用整体代换法求分数指数幂的和（差） （1）整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结 论的结构特点，灵活运用恒等式是关键； （2）利用整体代换法解决分数指 ... ...