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课件网) 4.5.3 函数模型的应用 1. 能利用已知函数模型求解实际问题（数学运算）. 2. 能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际问题（数学建模）. 课标要求 爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.若 每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁.也就 是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速 的，可以根据这一特点来进行资金的管理.例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式.假设存入的本金为1 000元，每期的利率为2.25%.五期后的本利和是多少？ 情景导入 知识点一 已知函数模型解决实际问题 01 知识点二 建立函数模型解决实际问题 02 知识点三 拟合函数模型解决决策问题 03 目录 课时作业 04 知识点一 已知函数模型解决实际问题 01 PART 【例1】 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体 的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝（T0－Ta） × ，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的 速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要 20 min，那么 降温到32 ℃时，需要多长时间？ 解：先设定半衰期h，由题意知40－24＝（88－24）× ，即 ＝ ，解得h＝10， 故原式可化简为T－24＝（88－24）× ， 当T＝32时，代入上式，得32－24＝（88－24）× ，即 ＝ ＝ ＝ ， 所以t＝30.因此，降温到32 ℃需要30 min. 【规律方法】 利用已知函数模型解决实际问题的方法 （1）首先确定已知函数模型解析式中的未知参数； （2）利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题； （3）涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法， 将指数运算转化为对数运算. 训练1 近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得 了巨大成就.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可用 公式v＝v0ln 计算火箭的最大速度v（m/s），其中v0（m/s）是喷流相对 速度，m（kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推进剂与火箭 质量的总和， 称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为500 m/s. （1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度； 解：由已知可得v＝500ln 200＝500（ln 2＋ln 100）＝500[ln 2＋2（ln 2＋ ln 5）]＝500（3ln 2＋2ln 5）≈2 650（m/s）. （2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高为原来的 2倍，总质比变为原来的 ，若要使火箭的最大速度至少增加500 m/s，求在 材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.（参考数据：ln 2≈0.7，ln 5≈1.6，2.718＜e＜2.719） 解：设在材料更新和技术改进前总质比为x，且v1＝v0ln x＝500ln x，x2＝ ，v2＝1 000ln ， 若要使火箭的最大速度至少增加500 m/s，所以v2－v1＝1 000ln －500ln x≥500， 即2ln －ln x≥1，ln －ln x＝ln ≥1， 所以 ≥e，解得x≥4e， 因为2.718＜e＜2.719，所以10.872＜4e＜10.876， 所以材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为11. 知识点二 建立函数模型解决实际问题 02 PART 【例2】 （链接教材P149例4）某地规划对一片面积为a的沙漠进行治 理，每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x（0＜x＜1）.当治 理面积达到这片沙漠面积的一半时，正好用了10年时间. （1）求x的值； 解：由于每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x（0＜x＜1）， 则a（1－x）10＝ a，即（1－x）10＝ ，解得x＝1－ . （2）若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的 ，按照规划至少还需多少 年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积 ... ...
