(
课件网) 培优课 与圆有关的最值问题 1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题（数学抽象、数学运算）. 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想（数学抽象）. 重点解读 与距离有关的最值问题 一 与面积有关的最值问题 二 利用数学表达式的几何性质求解最值问题 三 课时作业 04 目录 一 PART 与距离有关的最值问题 【例1】（1）已知半径为1的圆经过点（3，4），则其圆心到原点的距离 的最小值为（ A ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 A 解析：设圆心C（x，y），则 ＝1，化简得（x －3）2＋（y－4）2＝1，所以圆心C的轨迹是以M（3，4）为圆心，1为半径的圆，所以｜OC｜＋1≥｜OM｜＝ ＝5，所以｜OC｜≥5－1 ＝4，当且仅当C在线段OM上时取等号. 解析：圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可化为（x－2）2＋（y－2）2＝18，圆 心为（2，2），半径为3 .圆心（2，2）到直线x＋y－14＝0的距离为 ＝5 ＞3 ，所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的 差是2r＝6 . 6 【规律方法】 1. 求圆上的点到定点的最大、最小距离的步骤 （1）求圆心O与定点M间的距离dMO； （2）根据圆的几何性质知，①当点M在圆外时，dmax＝dMO＋r，dmin＝ dMO－r；②当点M在圆内时，dmax＝dMO＋r，dmin＝r－dMO. 2. 求点到直线的距离、弦长及切线长的最值 （1）直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值为d－r，最大值 为d＋r（d为圆心到直线的距离）； （2）过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值为2 ，最大值 为2r（d为圆心到直线的距离）； （3）直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值为 （d为圆心到直线的距离）. 训练1 （1）若过直线3x＋4y－2＝0上一点M向圆C：（x＋2）2＋（y ＋3）2＝4作一条切线，切点为T，则｜MT｜的最小值为（ ） B. 4 √ 解析：根据题意，知圆C的圆心C（－2，－3），半径r＝2，｜MT｜＝ ＝ ，当｜MC｜取得最小值时，｜MT｜的值最小，而｜MC｜的最小值为C到直线3x＋4y－2＝0的距离，即｜MC｜min＝ ＝4，所以｜MT｜的最小值为 ＝2 .故选D. （2）从点P（1，－2）向圆x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0作切线，当切线长 最短时，m＝ . 1 解析：圆x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0，可化为（x－m）2＋（y－1）2 ＝1，圆心C（m，1），半径为1，切线长最短时，｜CP｜最小，｜ CP｜＝ ，∴m＝1时，｜CP｜最小，切线长最短. 二 PART 与面积有关的最值问题 【例2】直线y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则△OAB面 积的最大值为（ ） A. 1 解析： 设圆心到直线的距离为d（0＜d＜1），则｜AB｜＝ 2 ，所以S△ABO＝ ·2 ·d＝ ，由基本不等 式，可得S△ABO＝ ≤ ＝ ，当且仅当d＝ 时，等 号成立. √ 【规律方法】 求与圆有关的面积的最值问题，一般转化为寻求与圆的半径相关的函数关 系或几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法 等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解. 训练2 直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆（x －2）2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（ ） A. [2，6] B. [4，8] 解析： 设圆心到直线AB的距离为d，则d＝ ＝2 .设点P 到直线AB的距离为d'.易知d－r≤d'≤d＋r，即 ≤d'≤3 .又｜AB｜ ＝2 ，所以S△ABP＝ ·｜AB｜·d'＝ d'，所以2≤S△ABP≤6. √ 三 PART 利用数学表达式的几何性质求解最值问题 【例3】已知x和y满足（x＋1）2＋y2＝ ，则x2＋y2的最大值与最小值分 别为 . 解析：由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上 的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和 最小值.原点O（0，0）到圆心C（－1，0）的距离d＝1，故圆上的点到 坐标原点的 ... ...
