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课件网) 2.4.2 圆的一般方程 1. 在平面直角坐标系中，探索掌握圆的一般方程（数学抽象、逻辑推理）. 2. 掌握待定系数法求圆的方程，能求与圆有关的轨迹方程（数学运算、直观想象）. 课标要求 前面我们已学习了圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式.请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程都表示圆吗？下面我们来探讨这一方面的问题. 情境导入 知识点一 圆的一般方程的概念 01 知识点二 000 02 提能点 与圆有关的轨迹问题 03 课时作业 04 目录 01 PART 知识点一 圆的一般方程的概念 问题 （1）如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需要满足什么条 件？ 提示：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方可得，（x＋ ）2＋（y＋ ）2＝ ，当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆. （2）当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图 形？当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？ 提示：①当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点（－ ，－ ）. ②当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形. 【知识梳理】 1. 概念：当 时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0叫做圆的一般方程. 2. 圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的圆的圆 心为 （－ ，－ ） ，半径长为 . 提醒：二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需x2 和y2的系数相同且不为0，xy的系数为0. D2＋E2－4F＞0 （－ ，－ ） 【例1】判断下列二元二次方程是否表示圆.如果是，请求出圆的圆心坐标 及半径： （1）2x2＋y2－7y＋5＝0； 解：2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，故原方程不表示圆. （2）x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； 解：x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy项，故原方程不表示圆. （3）x2＋y2－4x＝0； 解：方程可变形为（x－2）2＋y2＝4，表示圆心坐标是（2，0），半径是2 的圆. （4）x2＋y2－4ax－2 ay＋6a2＝0； 解：方程可变形为（x－2a）2＋（y－ a）2＝a2. 当a＝0时，方程表示点（0，0），不表示圆； 当a≠0时，方程表示圆心坐标是（2a， a），半径是｜a｜的圆. （5）4x2＋4y2－4x＋12y＋11＝0. 解：方程可变形为x2＋y2－x＋3y＋ ＝0， 法一 由D2＋E2－4F＝（－1）2＋32－4× ＝－1＜0，不表示任何图形. 法二 方程可变形为（x－ ）2＋（y＋ ）2＝－ ，故方程不表示任何 图形. 【规律方法】 圆的一般方程的辨析 （1）配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配 方变形为“标准”形式后，观察是否表示圆； （2）运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F与0的 关系，确定它是否表示圆. 训练1 （1）（2025·许昌月考）若方程x2＋y2－2y－m＝0表示的图形是 圆，则实数m的取值范围为（ D ） A. （－∞，1） B. （1，＋∞） C. （－∞，－1） D. （－1，＋∞） 解析：法一 因为方程表示的图形是圆，所以4＋4m＞0，解得m＞－1. 故实数m的取值范围为（－1，＋∞）. D 法二 方程x2＋y2－2y－m＝0可化为x2＋（y－1）2＝m＋1，因为方程 表示的图形是圆，所以m＋1＞0，解得m＞－1.故实数m的取值范围为 （－1，＋∞）.故选D. （2）〔多选〕已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0的直径为4，则（BD ） A. m＝－1 B. m＝1 C. 圆心为（－1，－2） D. 圆心为（1，－2） BD 解析：根据题意，圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0，即（x－1）2＋（y＋ 2）2＝5－m，其圆心为（1，－2），半径为 ，若其直径为4， ... ...
