第六章 平面向量及其应用 6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 图解课标要点 新知课丨必备知识解读 知识点1 平面几何中的向量方法 1 向量在平面几何中常见的应用 （1）证明线线平行或点共线问题，常用向量共线定理： ????//?????????=?????????????1????2?????2????1=0(????≠????) ． （2）证明线线垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（或线段） 是否垂直等，常用向量垂直的条件：????⊥??????????????=0?????1????2+????1????2=0 . （3）求夹角问题，利用夹角公式： cos?????,?????=?????????|????||????|=????1????2+????1????2????12+????12?????22+????22 . （4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：|????|=????2=????2+????2 或|????????|=|????????|=(????1?????2)2+(????1?????2)2 . ? 2 向量法解决平面几何问题的“三步曲” 这其实也是用向量法解决其他问题的思路，即从条件出发，把条件翻译成向量 关系式（用基底或坐标表示各向量），然后通过一系列的向量运算，得到新的向量 关系式，则这个新的向量关系式的几何解释就是问题的结论. 学思用·典例详解 图6.4.1-1 例1-1 如图6.4.1-1，已知????????，????????，????????是△???????????? 的三条高，且交 于点????，????????⊥????????于????，????????⊥????????于????.求证：????????//???????? . ? 点拨? 要证明????????//???????? ，由向量共线定理知，只需证明 ????????=????????????(????≠0) . ? 【解析】∵????????⊥????????,????????⊥????????,∴????????//????????，△????????????∽△???????????? , 设????????=????????????(????≠0),则????????=???????????? . 由????????⊥????????,????????⊥????????,易得△????????????∽△????????????,∴????????=???????????? . 于是????????=?????????????????=????(?????????????????)=???????????? ， ∴????????//????????,即????????//???????? . ? 点评? 在初中学习平面几何时，大家证明此题要用到平行的判定，这里用到向量的 线性运算及向量共线定理.利用向量的运算证明一些几何问题，比利用平面几何的 “从图形的一个性质推出另一性质”简单多了. ? 知识点2 向量在物理中的应用 向量是在物理的背景下建立起来的，物理中的一些量，如位移、力、速度、加 速度、功等都与向量有着密切的联系，因此可以利用向量来解决物理中的问题.具体 操作时，要注意将物理问题转化为向量关系式，通过向量的运算来解决，最后用来 解释物理现象. 1 力学问题的向量处理方法 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的 作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量．用向量方法解决 力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上． 2 速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠 加是向量的线性运算． 3 向量与功、动量 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实 质是向量的数量积. （1）力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即????=|????||????|cos?????，????? .功 是一个实数，它可正，可负，也可为零. （2）动量涉及物体的质量????，物体运动的速度???? ，因此动量的计算是向量的数 乘运算． ? 学思用·典例详解 例2-2 某物体做斜抛运动，初速度|????0|=10?m/s，与水平方向成60? 角，不计空气 阻力，则该物体在水平方向上的速度是___m/s . ? 5 图6.4.1-2 【解析】如图6.4.1-2所示，该物体在水平方向上的速度为 |????2|=|????0|?cos?60?=10×12=5(m/s) . ? 例2-3 [教材改编P41 T3](2025·重庆市渝北中学校期中)已 ... ...
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