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课件网) 第八章 立体几何初步 8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.1 直线与直线垂直 8.6.2 直线与平面垂直 图解课标要点 新知课丨必备知识解读 知识点1 异面直线所成的角 1 两条异面直线所成的角的定义 图8.6.1-1 平面内两条直线相交所成4个角，其中不大于 的角称为这两条直线所成的角（或夹角）. 如图8.6.1-1,已知两条异面直线, ,经过空间任一 点分别作直线,,我们把直线， 所成的 角叫做异面直线与 所成的角（或夹角）. 教材思考 教材第147页【 】:直线,所成角的大小与点 的位置有关吗？ 在定义中,空间一点是任取的,根据空间等角定理,可以判定异面直线, 所成的 角与直线,所成的锐角（或直角）相等,角的大小与点 的位置无关.为了简便，点 常取在两条异面直线中的一条上. 2 两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直 线与直线垂直，记作 .（【注意】两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括 异面垂直） 3 两条直线所成的角的范围 异空间两条直线所成角 的取值范围是 .（【易错点】注意区分异 面直线所成角与空间两条直线所成角的范围） . . . . 学思用·典例详解 例1-1 [教材改编P147 例1]已知正方体 ，则： （1）直线与 所成的角的大小为_____； 【解析】如图8.6.1-5，因为 ， 图8.6.1-5 所以就是异面直线与 所成的角（或其补角）. 因为 ,所以直线与所成的角为 . （2）直线与 所成的角的大小为_____； 【解析】连接,因为,所以就是异面直线与 所成的角，因为 ,所以直线与所成的角为 . （3）直线与 所成的角的大小为_____. 【解析】连接.因为 ， 所以直线与所成的角即 . 又，所以 为正三角形， 所以直线与所成的角为 . 知识点2 直线与平面垂直 1 定义 如果直线与平面 内的任意一条直线（“ 任意一条直线”与 “所有直线” 是同 义词，但与 “无数条直线”不等价）都垂直,我们就说直线与平面 互相垂直,记作 .直线叫做平面 的垂线,平面 叫做直线 的垂面.直线与平面垂直时，它们唯 一的公共点 叫做垂足. . . 2 重要结论 判定 线线 垂直 若直线与平面垂直，则这条直线与这个平面内的所有直线都垂直，从而可判 断直线与直线垂直，即“若 , ,则 ”，简述为“若线面垂直， 则线线垂直”. 重要 结论 ①过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条； ②过一点垂直于已知直线的平面有且只有一个. 3 直线与平面垂直的画法 画直线与平面垂直，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.如图 8.6.1-2（1）（2）所示. 图8.6.1-2 4 点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平 面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.（【助理解】在棱锥的体积 公式中，棱锥的高就是棱锥的顶点到底面的距离） 知识延伸 线面距、面面距的定义 1.一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做 这条直线到这个平面的距离. 2.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都 相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.（【助理解】在台体、柱体的体积公 式中，高就是上底面与下底面的距离） 说明：线面距与面面距最终都会转化为点到平面的距离，而点到平面的距离其 实就是点与平面内任意一点间的距离的最小值. 学思用·典例详解 【想一想丨问题质疑】 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线是否与这个平面垂直？ 图8.6.1-6 提示 不一定. 如图8.6.1-6,长方体中,在棱上任取一点 ,过 点作交于点 ,则这样的直线能作出无数条, 显然垂直于平面内的无数条直线，但 平面 ， 故直线与平面 不垂直. 不仅如此,因为,所以直线也垂直于平面 ... ...
