人教版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程2.4圆的方程2.4.2圆的一般方程课件

(课件网) 第二章　直线和圆的方程 2.4　圆的方程 2.4.2　圆的一般方程 1. 在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程. 2. 能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程. 　　我们常见的隧道的截面是半圆形，圆拱桥上的弧形也是圆的一部分，圆 在日常生活中应用非常广泛.如果把圆的标准方程（x－a）2＋（y－b）2＝ r2展开为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D，E，F均为常数.那么请大家思 考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我 们来探讨这一方面的问题. 知识点一　圆的一般方程的定义 D2＋E2－4F＞0　 教材知识整理与归纳 思考： 1. 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？ 不一定.只有D2＋E2－4F＞0时表示圆，否则不表示圆. 2. 如果点P（x0，y0）在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0内，那么应满足什么关 系式？在圆外呢？ √ × × √ 2. 若方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围 为 . 3. 若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以（2，－4）为圆心，4为半径的 圆，则F＝ . 4　 知识点二　求与圆有关的轨迹问题的常用方法 （1）直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐 标，并找出动点坐标所满足的关系式. （1）点M的轨迹方程是指点M的坐标（x，y）满足的关系式. （2）定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨 迹方程. （2）轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形.在解析几何中，我们常常把 图形看作点的轨迹（集合）. （3）代入法：若动点P（x，y）随着圆上的另一动点Q（x1，y1）运动而 运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得 动点P的轨迹方程. 思考：轨迹与轨迹方程有什么区别？ （3）求符合某种条件的动点M的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何 条件，通过“坐标化”将其转化为关于变量x，y的方程. 已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的 轨迹方程. 【例1】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： （1）实数m的取值范围； 　二元二次方程与圆的关系 课堂互动探究与提升 （2）圆心坐标和半径. 归纳总结：判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆 的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆. 此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看 方程等号右端是否为大于零的常数. 【例1】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： A. 一个点 B. 一个圆 C. 一条直线 D. 不存在 解析：方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即 （x－1）2＋（y＋2）2＝0，所以方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点 （1，－2）. A C. （－2，0） D 【例2】求满足下列条件的圆的方程： （1）经过A（4，0），B（3，－3），C（1，1）三点； 　求圆的一般方程 （2）圆心在直线y＝x上，与x轴相交于（－1，0），（3，0）两点. 归纳总结：待定系数法求圆的一般方程的步骤 （1）根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； （2）根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组； （3）解此方程组，求出D，E，F的值； （4）将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程. （1）过点M（－1，1），且圆心与已知圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0相同 的圆的方程为 . （x－2）2＋（y＋3）2＝25　 x2＋y2 －8x＋6y＝0　 　轨迹问题 归纳总结：求与圆有关的轨迹问题的常用方法 （1）直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐 标，并找出动点坐标所满足的关系式. （2）定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨 迹方 ... ...