(课件网) 第一章 空间向量与立体几何 1.4 空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 1. 能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量. （数学抽象） 2. 会求一个平面的法向量.（数学运算、逻辑推理） 立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图 形，为了用空间向量解决几何问题，首先必须把点、直线、平面用向量表示 出来. 那么，如何利用向量刻画直线与平面的方向与位置？ 知识点一 空间中点、直线的向量表示 1. 空间中点的位置向量 位置向量 教材知识整理与归纳 ta （2）性质：空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 思考：如何确定直线的方向向量？ B A. （－1，1，1） B. （－1，1，－1） C. （－1，2，1） D. （－1，2，－1） 知识点二 空间平面的向量表示式 1. 通过平面α上的一个定点和两个向量来确定 条件 平面α内两条 直线的方向向量a，b和交点O 形式 相交 xa＋yb 不共线 2. 通过平面α上的一个定点和法向量来确定 平面的法向量 直线l⊥α，直线l的 ，叫做平面α的法向量 确定平面位置 过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的 方向向量 法向 量 A. x＋y－z＝0 B. x＋y－z＝－1 C. 2x－y＋z＝0 D. 2x－y＋z＝1 D 直线的方向向量 课堂互动探究与提升 A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 A 已知向量a＝（1，－2，4），b＝（2，4x，y＋1）分别是直线l1，l2的一 个方向向量，若l1∥l2，则x＋y＝ . 6 求平面的法向量 解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设平面PCD的法向量为n＝（x，y，z）. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： （1）平面BDD1B1的一个法向量； （2）平面BDEF的一个法向量. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： A. 若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反 B. 平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量 C. 两直线的方向向量平行，则两直线平行 D. 直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面平行 A 当堂检测 解析：对于A，由两条直线平行可知，两条直线的方向向量共线，故方向相 同或者相反，A正确；对于B，平面的法向量有无数个，且互相平行，故B错 误；对于C，两直线的方向向量平行，则两直线平行或者重合，故C错误；对 于D，直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面平行或直线在平 面内，故D错误. A. （1，－1，1） B. （2，－1，1） C. （－2，1，1） D. （－1，1，1） C A. （0，0，0） B. （－2，2，2） C. （1，1，－1） D. （－1，－1，1） B A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：∵l∥α， ∴m⊥n， ∴m·n＝1×2＋2×3－4t＝0，得t＝2. B 5. 已知空间三点A（1，1，1），B（0，3，0），C（－2，－1，4），点P （－3，x，3）在平面ABC内，则实数x的值为 . 1 1. 重点与难点：（1）空间中点和直线的向量表示. （2）空间中平面的向量表示. （3）平面法向量的求法. 2. 定理与公式或方法等：待定系数法、赋值法. 3. 误区警示：直线的方向向量和平面的法向量都不能是零向量且不唯一， 这无数个方向向量或法向量都分别是共线向量.用代数法求平面的法向量 时，设定的某个分坐标一定不能是0. 参考答案 教材知识整理与归纳 【即学即练】 【即学即练】 课堂互动探究与提升 【变式训练】 6 解析：因为l1∥l2，所以a∥b，故存在实数λ使得b＝λa， 【例2】解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设平面PCD的法向量为n ... ...
