人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列第三单元等比数列课时4等比数列前n项和的性质及应用课件(共27张PPT)

(课件网) 第四章　数列 第三单元　等比数列 课时4　等比数列前n项和的性质及应用 熟练掌握等比数列的前n项和公式及性质. 等比数列前n项和常用性质的推导及应用. 教学过程设计 复习旧知 1. 等比数列的通项公式： . 2. 等比数列的递推公式： . 3. 等比数列的重要性质：在等比数列中，若m＋n＝p＋r（m，n，p， r∈N*），则 . 4. 等比数列的前n项和公式：当 时，等比数列的前n项和Sn ＝ ；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn＝ ＝ . an＝a1qn－1，n∈N*　 an＋1＝anq，n∈N*　 am·an＝ap·ar　 q＝1　 na1　 探究等比数列前n项和的性质 问题1：类比等差数列前n项和的性质，等比数列的前n项和有哪些性质？ 例1　已知等比数列{an}的公比q≠－1，前n项和为Sn.证明Sn，S2n－Sn， S3n－S2n成等比数列，并求这个等比数列的公比. 证明：当q＝1时，Sn＝na1，S2n－Sn＝2na1－na1＝na1，S3n－S2n＝3na1 －2na1＝na1， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为1. 因为qn为常数， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn. 归纳：若等比数列{an}的公比q≠－1，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比 数列. 问题2：不用分类讨论的方式能否证明上面的例题？ 因为q≠－1， 所以Sn≠0， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列. 实际应用问题 例2　如图4.3－2，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中 点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的 中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去. 图4.3－2 （1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和； （2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正 方形的面积之和将趋近于多少？ 分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件 可知，这是一个等比数列. 问题4：每个正方形的面积有什么关系？ 解：设正方形ABCD的面积为a1，后继各正方形的面积依次为a2，a3，…， an，…，则a1＝25.由于第k＋1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的 中点， 设{an}的前n项和为Sn. 目标检测 1. 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6 万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5％，同时，通过环 保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请写 出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年 起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）. 解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an}， 每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{bn}， 2. 某牧场今年初牛的存栏数为1 200，预计以后每年牛群的自然增长率为8％，且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，…. （1）写出一个递推公式，表示cn＋1与cn之间的关系； 解：由题意，得c1＝1 200，并且cn＋1＝1.08cn－100.　　① （2）将（1）中的递推公式表示成cn＋1－k＝r（cn－k）的形式，其中k， r为常数； 解：将cn＋1－k＝r（cn－k）化成cn＋1＝rcn－rk＋k.　　② （3）求S10＝c1＋c2＋c3＋…＋c10的值（精确到1）. 1. 如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列 的公比等于多少？ 2. 在等比数列{an}中，a1＝1，项数是偶数，奇数项的和是85，偶数项的和 是170，求这个数列的公比和项数. 3. 一个乒乓球从1 m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高 度的0.61倍. （1）当它第6次着地时，经过的总路程是多少（精确到1 cm）？ （2）至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到400 cm？ 4. 在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免 疫力 ... ...