人教A版高中数学选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用第四单元导数的综合应用课时1三次函数的图象与性质的应用课件(共43张PPT)

(课件网) 第五章　一元函数的导数及其应用 第四单元　导数的综合应用 课时1　三次函数的图象与性质的应用 1. 掌握三次函数图象的几种模型和性质，会解决相应图象问题. 2. 理解三次函数的定义域、值域和图象特点（如中心对称性、开口方向 等）. 3. 熟练掌握三次函数的基本性质：导数与单调性的关系、极值点及其个数、 零点以及对称中心. 重点：三次函数图象的几种模型及其单调性与极值. 难点：三次函数的综合性质、零点与对称性. 教学过程设计 　　三次函数是高中阶段可以系统研究的一个重要函数，因为其导函数二次函 数是中学阶段研究最深的函数之一，于是在学习完导数后，我们可以通过对其 导函数的详细研究来弄清楚三次函数的基本性质.本节试图从三次函数的基本 性质出发，展示其重要的一些应用手法.通过观察、类比、猜想、从特殊到一 般等方法得到一元三次函数具有哪些性质，数形结合辨析所猜想的性质是否正 确，最后利用导数，进行严谨证明，抽象出一般性的结论，提升数学抽象的核 心素养. 三次函数的定义 问题1：类比二次函数，同学们能给出三次函数的定义吗？ 三次函数的定义：形如f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的函数，称为 三次函数. 三次函数的图象及其单调性与极值 先确定定义域，再通过描点、连线作图.通过求导利用单调性确定函数图象 上升或下降的趋势，即图象形状；通过描出特征点，如极值点、与坐标轴的 交点、趋势点等确定函数图象的位置. 图5.4－1 问题5：所有的三次函数都有两个极值吗？什么条件下有两个极值，什么条 件下没有极值呢？ 三次函数的单调性和极值与其导函数的正负及导函数的零点相关.当其导 函数的Δ＞0时，三次函数有两个极值，当其导函数的Δ≤0时，三次函数 无极值. 问题6：请同学们以这道题为起点，探究一元三次函数的图象有什么特点？ 通过图象我们又能得到哪些相关性质呢？由特殊到一般，请同学们自主探 究，总结一下三次函数的系数如何影响三次函数的单调性与极值. 1. 三次函数：（1）y＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）；（2）y＝a（x－x1） （x－x2）·（x－x3）（a≠0）. 2. 三次函数的图象与导函数的图象 系数关系式 f（x）的图象 f'（x）的图象 f（x）的性质 f'（x）≥0恒成立； f（x）在R上单调递增； f（x）无极值点 f'（x）≤0恒成立； f（x）在R上单调递减； f（x）无极值点 系数关系式 f（x）的图象 f'（x）的图象 f（x）的性质 单调递增区间（－∞，x1）， （x2，＋∞）； 单调递减区间（x1，x2）； f（x）有两个极值点； 极大值f（x1），极小值 f（x2） 系数关系式 f（x）的 图象 f'（x）的 图象 f（x）的性质 单调递增区间（x1，x2）； 单调递减区间（－∞，x1）， （x2，＋∞）； f（x）有两个极值点； 极小值f（x1），极大值 f（x2） 归纳：①当y'＝3ax2＋2bx＋c（a≠0）的判别式Δ≤0时，三次函数y＝ax3 ＋bx2＋cx＋d（a≠0）在R上单调递增（a＞0）或单调递减（a＜0）；② 当y'＝3ax2＋2bx＋c（a≠0）的判别式Δ＞0时，三次函数y＝ax3＋bx2＋ cx＋d（a≠0）在R上有增有减（不单调）. 注：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个. 三次函数的零点及根与系数的关系 图5.4－2 问题8：通过问题7，我们是如何判断三次函数零点个数的？各系数之间 的关系是怎样影响三次函数图象的位置的？试探究三次函数的系数与零 点的关系. 1. 三次函数的零点个数 其图象、零点、极值的关系如下： 性质 三次函数图象 说明 a＞0 a＜0 零 点 个 数 3 个 b2－3ac＞0； f（x1）f（x2）＜0； 两个极值异号； 图象与x轴有3个交点 性质 三次函数图象 说明 a＞0 a＜0 零 点 个 数 2 个 b2－3ac＞0； f（x1）f（x2）＝0； 有一个极值 ... ...