2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习：函数中的新定义综合训练（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习：函数中的新定义综合训练 1．约定：若抛物线且，抛物线则称与互为“关联抛物线”． (1)已知抛物线的“关联抛物线”是抛物线求抛物线与轴交点的坐标； (2)抛物线与它的“关联抛物线”存在交点在一条定直线上运动，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，已知抛物线且与轴交于点，其“关联抛物线”与轴交于点．当是等腰直角三角形，，且，，满足：时，抛物线与直线交于，两点，求线段长度的取值范围． 2．若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”． (1)若，，三点均在函数（n为常数，）的图象上，且这三点的纵坐标，，构成“和谐三组数”，求实数t的值； (2)若直线与x轴交于点，与抛物线交于，两点． ①求证：A，B，C三点的横坐标，，构成“和谐三组数”； ②若，，求点与点（其中k为常数，）距离的平方的取值范围． 3．若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“1阶差函数”． (1)函数①；②；③．其中函数_____是在上的“1阶差函数”；（填序号） (2)已知函数：． ①当时，函数是在上的“1阶差函数”，求的值； ②函数是在（m为整数）上的“1阶差函数”，且存在整数k，使得，求a的值． 4．定义：一个点的横坐标的平方与常数t的和等于纵坐标，则称该点为“t阶平方点”． (1)下列函数存在“0阶平方点”的是 ． ①； ②； ③； (2)若一次函数上有且仅有一个“t阶平方点”，且该“t阶平方点”关于的对称点也是“t阶平方点”，求n的值． (3)已知在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，其中，点C是横坐标为0的“t阶平方点”，且，F为y轴上一点，直线，上的另外一个“t阶平方点”分别为点D，E，若同时满足下列两个条件： ①， ②四边形是菱形； 设该菱形的面积为m，且当时，函数的最大值等于，求t的值． 5．在平面直角坐标系中，对于函数图象给出如下定义：将函数图象上的任意一点变为点，称点为点的3倍位移点．函数图象上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图象记为函数图象，称函数图象为图象的3倍位移图象，函数为函数的3倍位移函数． (1)若点的3倍位移点在反比例函数上，则的值为_____． (2)点在直线上，点的3倍位移点在直线上，求点的坐标． (3)已知二次函数，函数是的3倍位移函数． ①求二次函数的3倍位移函数． ②点在二次函数上，点的3倍位移点为，若点的纵坐标大于8，设点的横坐标为，求的取值范围． ③取二次函数在的部分，取在的部分，组成一个新的函数，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为点，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为点，，若，求的值． 6．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，如果函数图象上至少存在一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则把该函数称之为“中考必胜函数”，其图象上纵坐标是横坐标3倍的点叫做“必胜点”． (1)判断以下函数上是否是“中考必胜函数”，若是，则打√，若不是，则打“×”； ①_____②_____③_____ (2)关于x的函数（a为常数）是“中考必胜函数”吗？如果是，指出有多少个“必胜点”，如果不是，请说明理由； (3)若抛物线（a、b、c为常数），与x轴分别交于，两点，其中；与y轴交于C点，抛物线顶点为P点，点M为第三象限抛物线上一动点，且点M的横坐标为t，连接，交于N点，连接，，记，，若满足：①抛物线顶点P为“必胜点”；②；③是等边三角形；若，的最大值为，求m的值． 7．已知关于x的一次函数与y轴的交点为P，也是关于x的函数，若函数图象上存在点，满足轴，则称是的“平等函数”．例如与y轴的交点为，图象上存在一点，且轴，所以称是的“平等函数”．根据上 ... ...