2025-2026学年人教A版数学必修第二册单元检测 第6章 平面向量及其应用（含答案）

第6章　平面向量及其应用 (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若=(-1,2),=(1,-1),则=(　　) A.(-2,3) B.(0,1) C.(-1,2) D.(2,-3) 2.已知向量a=(3,k),b=(2,-1),a⊥b,则实数k的值为(　　) A.- B. C.6 D.2 3.已知向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a+b|=(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 4.已知|a|=4,b在a方向上的投影向量为a,则a·b=(　　) A. B. C. D. 5.若M为△ABC所在平面内一点,且满足()·(-2)=0,则△ABC的形状为(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 6.若α,β是一组基底,向量r=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量r在基底α,β下的坐标,现已知向量α在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则α在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为(　　) A.(2,0) B.(0,-2) C.(-2,0) D.(0,2) 7.已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c2-b2=ab,C=,则的值为(　　) A. B.1 C.2 D.3 8.△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若B=2A,a=1,b=,则c=(　　) A.2 B.2 C. D.1 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.四边形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的菱形,HE与CG相交于点M,则下列关系一定成立的是(　　) A.||=|| B.共线 C.共线 D.共线 10.已知平面向量a=(1,0),b=(1,2),则下列说法正确的是(　　) A.|a+b|=16 B.(a+b)·a=2 C.向量a+b与a的夹角为30° D.向量a+b在a上的投影向量为2a 11.设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是(　　) A.若,则点M是边BC的中点 B.若=2,则点M在边BC的延长线上 C.若=-,则点M是△ABC的重心 D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.如图,已知长方形ABCD中,AB=2,AD=1,M为CD的中点,则=　　 . 13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知3a2-2ab+3b2-3c2=0,则cos C=　　　　　. 14.某湖中有一小岛C,沿该湖有一条正南方向的公路,一辆汽车在公路A处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上,汽车行驶1 km到达B处后,又测得小岛在公路的南偏西75°的方向上,则小岛到公路的距离是　　　　　 km. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知=(-1,3),=(3,m),=(1,n),且. (1)求实数n的值; (2)若,求实数m的值. 16.(15分)已知非零向量a,b满足|a|=1,且(a-b)·(a+b)=. (1)求|b|; (2)当a·b=-时,求向量a与a+2b的夹角θ的值. 17.(15分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos C+(cos A-sin A)cos B=0. (1)求角B的大小; (2)若a+c=1,求b的取值范围. 18.(17分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(-1,2),又点A(8,0),B(n,t),C(ksin θ,t) . (1)若⊥a,且||=|,求向量; (2)若向量与向量a共线,当k>4,且tsin θ取最大值4时,求. 19.(17分)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bsin C+csin B=4asin Bsin C. (1)求角A的大小; (2)若2bsin B+2csin C=bc+a,求△ABC面积的最大值. 第6章　平面向量及其应用 (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.D 解析:因为=(-1,2),=(1,-1), 所以=(2,-3). 2.C 解析:∵向量a=(3,k),b=(2,-1),a⊥b, ∴6-k=0,解得k=6. 3.A 解析:∵向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2, ∴|2a+b|2=(2a+b)2=4|a|2+|b|2+4a·b=4+4+0=8.则|2a+b|=2. 4.B 解析:∵b在a方向上的投影向量为|b|cos θ·a=a, ∴a·b=|a|2=×42=. 5.A 解析:设BC的中点为D,则-2=2-2=2. ∵满足()·(-2)=0, ∴·2=0,∴. ∴△ABC是等腰三角形. 6.D ... ...