浙江省绍兴市2025-2026学年高一上学期期末数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.命题“，”的否定是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3.半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角的弧度数为( ) A. B. C. D. 4.“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.已知，则( ) A. B. C. D. 6.函数在区间上的图象大致为( ) A. B. C. D. 7.定义在上的函数满足，且，则( ) A. B. C. D. 8.已知两两不相等的实数、满足，且，若，则( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.若正实数，满足，则( ) A. B. C. D. 10.设函数，则( ) A. 是偶函数 B. 的其中一个零点是 C. 的图象关于直线对称 D. 11.已知正方形的边长为，，分别是边，上的动点不含端点，记，，，，则( ) A. 若为定值，则是关于的减函数 B. 若为定值，则是关于的增函数 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. ． 13.已知，，则 ． 14.若函数恰有个零点，则的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知函数． 求的最小正周期； 求的单调递增区间． 16.本小题分 对于实数，规定区间，，的长度均等于． 若集合，，求的区间长度； 若函数的定义域为区间，求的区间长度． 17.本小题分 已知函数满足． 证明：，； 求的单调区间不要求证明； 若，求的取值范围． 18.本小题分 设，，函数，对于集合，记． 若，求和； 已知，设，若，求的最小值； 若，都有，求． 19.本小题分 已知函数，，此时设． 求，及的取值范围； 求的最大值； 若，，求证：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：由， 所以函数最小正周期为：． 由， 即， 所以的单调递增区间为． 16.解：由， 得：； 不等式等价于， 解得：，故； 所以： 区间 的长度为：； 函数 的定义域 需满足： 由 得； 由，得：， 对数函数在上单调递减， 有：； 综上：， 因此． 故的区间的长度为： 17.解：由得，所以 ，所以，． 设，则原函数可化为，在上单调递减，在单调递增． 又因为是增函数， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以的单调递增区间为，单调减区间为， 由知关于对称，由知在单调递增，在单调递减， 所以可化为，解得或． 所以的取值范围为或 18.解：当时， 函数在上单调递增，在上单调递减，且， 函数在的值域为，在上的值域为 所以． 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 且，而，因此， 所以的最小值为． 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 取，则，，因此； 当时，函数在上单调递增，； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 取，则，，因此， 所以，都有时，． 19.解：已知，将代入可得， ， 将代入可得， ， 令，因为 在任取两个实数，令． 则， 因为，所以 所以在单调递增． 所以 ． 所以的取值范围． 已知，则． 即 利用两角和差公式可得，． 因为，． 则显然，当时，取得最大值． 所以的最大值为． 由知道，，因为且， 所以在上先单调递增后单调递减，即存在最大值点使得． 令， 因为，且． 所以即 因为，所以有． 所以有，化简得， 设 由积化和差公式可以知道， 再由二倍角公式可以知道， 所以 所以可以化简为 可以得到，． 因为，所以有， 因为， 所以要证，即证， 只需证． 假设，且，所以 令，则且 则． 因为即且． ，可以得到即这与余弦函数的值域矛盾，故假设不成立，所以必有． 于是 即有． 第1页，共1页 ... ...
