7．5　正态分布（教师版）

7．5　正态分布 学习目标 1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态曲线的特点及曲线所表示的意义．　2.了解变量落在区间[ μ－σ，μ＋σ ]，[ μ－2σ，μ＋2σ ]，[ μ－3σ，μ＋3σ ]内的概率大小．　3.会用正态分布解决实际问题． eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　)) INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 思考1　下列随机变量是不是离散型随机变量： (1)抛掷一枚质地均匀的骰子一次，用X表示所得点数； (2)白炽灯的使用时间． 提示：(1)是．　(2)不是． 思考2　一所学校同年级的同学，身高特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右；某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少．生活中这样的现象很多，身高、电子产品的使用寿命这些变量都不具备离散型随机变量的特点，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，这类变量如何构建适当的概率模型刻画随机变量的分布？ 提示：这类变量为连续型随机变量，可用正态分布概率模型来刻画． 一　正态曲线及其特征 1．正态曲线 若f(x)＝_____，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数，我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． 2．正态分布 (1)若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2).特别地，当μ＝_____，σ＝_____时，称随机变量X服从标准正态分布． (2)若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝_____，D(X)＝_____． 3．正态曲线的特点 (1)非负性：对 x∈R，f(x)＞0，它的图象在x轴的_____； (2)定值性：x轴与曲线之间的区域的面积为_____； (3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线_____对称； (4)最大值：曲线在_____处达到峰值； (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近_____； (6)当_____一定时，正态曲线的位置由μ确定，且随着_____的变化而沿x轴平移，如图1. (7)当μ一定时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图2. INCLUDEPICTURE "25PM10.TIF" INCLUDEPICTURE "25PM10.TIF" \* MERGEFORMAT [答案自填] e　0　1　μ　σ2 上方　1　x＝μ　x＝μ　x轴　σ　μ INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是(　　) INCLUDEPICTURE "25PM11.TIF" INCLUDEPICTURE "25PM11.TIF" \* MERGEFORMAT A．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．两类水果的质量服从的正态分布的参数σ1<σ2 D．甲类水果的平均质量μ1＝0.6 kg (2)现已知随机变量Y服从正态分布N(2，4). 若随机变量Z＝aY－b(a，b为正实数)服从标准正态分布，则a＋b＝_____． 【解析】　(1)由题图可知甲类水果的平均质量为μ1＝0.6 kg，D正确；乙类水果的平均质量为μ2＝0.8 kg，故甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小，A错误；由于甲曲线比乙曲线更“瘦高”，可知σ1<σ2，故甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，B错误，C正确．故选CD． (2)随机变量Y服从正态分布N(2，4)，所以E(Y)＝2，D(Y)＝4，因为随机变量Z＝aY－b(a，b为正实数)服从标准正态分布，所以E(Z)＝0，D(Z)＝1， 所以E(Z)＝aE(Y)－b＝2a－b＝0，D(Z)＝a2 ... ...