3．1　二倍角公式（教师版）

§3　二倍角的三角函数公式 3．1　二倍角公式 1.理解二倍角公式的推导过程，知道二倍角公式与和角公式之间的内在联系．　2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换． 唐代诗人王维曾写出“独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲”，一个“倍”字道出了思念亲人的急迫心情，这里的“倍”何止二倍、三倍，更是百倍、千倍，就像我们期待自己的成绩加倍提高一样，今天，就让我们共同探究三角函数中的“二倍”关系． 思考1　请写出两角和的正弦、余弦、正切公式． 提示：sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；　 cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； tan (α＋β)＝. 思考2　当α＝β时，你能写出sin 2α，cos 2α，tan 2α的表达式吗？ 提示：sin 2α＝sin (α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos (α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α； tan2α＝tan (α＋α)＝. sin2α＝_____．(S2α) cos 2α＝cos2α－sin2α＝_____＝_____．(C2α) tan2α＝_____．(T2α) [答案自填] 2sin αcos α　2cos2α－1　1－2sin2α　 角度1　　化简求值 　求下列各式的值： (1)cos222.5°－sin222.5°；(2)1－sin215°； (3)；(4)cos20°cos 40°cos 80°. 【解】　(1)原式＝cos (2×22.5°)＝cos 45°＝. (2)原式＝1－＝＋cos 30°＝. (3)原式＝tan 150°＝－tan 30°＝－. (4)原式＝ ＝＝ ＝＝＝. (1)二倍角公式的变形 ①逆用 2sin αcos α＝sin 2α，2cos2α－1＝cos2α，1－2sin2α＝cos2α. ②变形 (ⅰ)cos2α＝，sin2α＝； (ⅱ)1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α. (2)有关二倍角给角求值问题的策略 ①直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对原式进行转化，一般可以化为特殊角． ②若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，可利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． [跟踪训练1] 求下列各式的值： (1)2cos222.5°－1； (2)cos4－sin4； (3)sincos cos cos ； (4)＋32cos212°. 解：(1)原式＝cos45°＝. (2)原式＝(cos2－sin2)(cos2＋sin2)＝cos2－sin2＝cos＝. (3)原式＝×2sin cos cos cos ＝sin cos cos ＝×2sin cos cos ＝sin cos ＝×2sin cos ＝sin ＝×＝. (4)原式＝＋16(2cos212°－1)＋16＝＋16cos 24°＋16 ＝＋16cos 24°＋16 ＝＋16cos 24°＋16 ＝＋16cos 24°＋16＝16. 角度2　给值求值 　(对接教材例1)(1)若cos (2α－)＝，则sin 4α＝(　　) A．－ B． C．－ D． (2)已知tan (α＋β)＝5，tan (α－β)＝2，则tan 4β＝_____． 【解析】　(1)由cos (2α－)＝可得cos (4α－)＝2cos2(2α－)－1＝－， 故sin4α＝cos (4α－)＝－.故选C. (2)tan 2β＝tan [(α＋β)－(α－β)] ＝＝＝， 故tan 4β＝＝＝. 【答案】　(1)C　(2) 有关二倍角给值求值问题的策略 (1)解决此类问题有两种方法，一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；二是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． (2)注意几种公式的灵活应用，如： ①sin2x＝cos (－2x)＝cos [2(－x)]＝2cos2(－x)－1＝1－2sin2(－x)； ②cos2x＝sin (－2x)＝sin [2(－x)]＝2sin (－x)cos (－x). [跟踪训练2] (1)已知cos θ－sin θ＝，则cos 4θ＝(　　) A.－ B．－ C．－ D．－ 解析：选A.由题意(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝()2＝，所以sin 2θ＝，cos 4θ＝1－2sin22θ＝1－2×()2＝－.故选A. (2)已知角α满足tan(α－)＝，则sin 2α＝_____． 解析：因为tan ( ... ...