10．3　复数的三角形式及其运算（教师版）

*10.3　复数的三角形式及其运算 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角形式，了解复数的代数形式与三角形式之间的关系．　2.了解复数乘、除运算的三角形式及其几何意义． INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 我们知道，复数可以用a＋bi(a，b∈R)的形式来表示，复数a＋bi与复平面内的点Z(a，b)一一对应，与平面向量＝(a，b)也是一一对应的． 思考　能否用向量的模r和以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线(射线OZ)为终边的角θ来表示复数z吗？ 提示：可以由复数z的模和复平面内以x轴的非负半轴为始边、向量所在射线为终边的角来确定． 一般地，如果非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a，b)，且r为向量的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r＝|z|＝，根据任意角余弦、正弦的定义可知cos θ＝，sin θ＝，因此a＝r cos θ，b＝r sin θ，如图所示，从而z＝a＋bi＝_____称为非零复数z＝a＋bi的三角形式(对应地，a＋bi称为复数的代数形式)，其中的θ称为z的_____． 特别地，在[0，2π)内的辐角称为z的辐角_____，记作_____． [答案自填] r(cos θ＋isin θ)　辐角　主值　arg z 角度1　复数的代数形式化为三角形式 INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例1)把下列复数的代数形式化成三角形式． (1)3－i； (2)－i. 【解】　(1)r＝ ＝2. 因为与3－i对应的点在第四象限， 所以arg(3－i)＝， 所以3－i＝2(cos ＋isin ). (2)r＝ ＝2. 因为与－i对应的点在第四象限， 所以arg(－i)＝， 所以－i＝2(cos ＋isin ). eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ) 复数的代数形式转化为三角形式的步骤 (1)先求复数的模； (2)判断辐角所在的象限； (3)根据象限求出辐角； (4)求出复数的三角形式． 角度2　复数的三角形式化成代数形式 INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　把下列复数的三角形式化成代数形式． (1)4(cos ＋isin )； (2)3(cos ＋isin ). 【解】　(1)4(cos ＋isin )＝4cos ＋(4 sin )i＝4×＋(4×)i＝2＋2i.　 (2)3(cos ＋isin )＝3cos ＋(3sin )i＝3×(－)＋3×(－)i＝－－i. eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ) 将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式z＝r(cos A＋isin A)，代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝r cos A，y＝r sin A． [跟踪训练1] (1)下列复数中是三角形式的是　(　　) A．2(cos －isin ) B．2(cos ＋isin ) C．2(sin －icos ) D.－2(sin －icos ) 解析：选B.复数的三角形式是r(cos θ＋isin θ)，观察所给的四个复数，只有B中的复数是三角形式，注意式子中各个位置的符号． (2)复数10(cos ＋isin )表示成代数形式为_____． 解析：10(cos ＋isin )＝10(－－i)＝－5－5i. 答案：－5－5i 1．乘法运算法则 设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝_____． 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的_____，积的辐角等于各复数的辐角的_____． 特别地，如果n∈N，则[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn[cos (nθ)＋isin (nθ)]. 2．除法运算法则 设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z2≠0，则＝_____． 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的_____，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的_ ... ...