培优课　函数零点的综合问题

重点解读 1.进一步应用函数零点存在定理，已知零点（方程的解）的情况求参数范围（逻辑推理、数学运算）. 2.掌握一元二次方程的根的分布情况（直观想象、数学运算）. 一、根据零点情况求参数值（范围） 角度1　已知零点区间求参数范围 【例1】　函数f（x）＝2x＋log2（x－1）－的零点在区间（2，3）内，则实数a的取值范围为（　　） A. B.（4，18） C.（8，9） D.（8，18） 解析：D　函数f（x）＝2x＋log2（x－1）－在定义域（1，＋∞）上连续且单调递增，已知函数零点在区间（2，3）内，则f（2）＜0，f（3）＞0，解得a∈（8，18）.故选D. 角度2　已知零点个数求参数 【例2】　已知函数f（x）＝a·9x＋3x－2. （1）当a＝1时，求函数f（x）的零点； 解：当a＝1时，f（x）＝9x＋3x－2＝＋3x－2＝（3x＋2）（3x－1）， 令f（x）＝0，则3x－1＝0，解得x＝0， ∴f（x）有唯一零点x＝0. （2）若函数f（x）恰好有两个零点，求实数a的取值范围. 解：令f（x）＝0，则a＝＝2×－， 令＝t，∵＞0，∴t＞0，令g（t）＝2t2－t（t＞0）， ∵f（x）恰好有两个零点，∴y＝a与g（t）图象有两个不同的交点， ∵y＝g（t）＝2t2－t的对称轴为t＝－＝，开口向上，∴g（t）min＝2×－＝－， 又当t＝0时，g（0）＝0，g（t）图象如图所示， ∴当－＜a＜0时，y＝a与g（t）有两个不同的交点，即f（x）恰好有两个零点， ∴实数a的取值范围为. 【规律方法】 　　已知函数有零点（方程有根）求参数值（范围）的方法 （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，利用数形结合的方法求解. 训练1　（1）已知函数f（x）＝20·3－x－x的零点x0∈（k，k＋1），k∈Z，则k＝2； 解析：因为函数y＝3－x为R上的减函数，故函数f（x）＝20·3－x－x为R上的减函数，又f（2）＝20·3－2－2＝－2＝＞0，f（3）＝20·3－3－3＝－3＜0，故f（x）＝20·3－x－x在（2，3）上有唯一零点，结合题意可知k＝2. （2）已知函数f（x）＝g（x）＝f（x）－m，若函数g（x）有三个零点，则m的取值范围是（0，1）. 解析：由题得y＝f（x）与y＝m的图象有三个交点，作出函数y＝f（x）的图象如图所示， 当x＝e时，f（e）＝1，则m的取值范围是0＜m＜1. 二、一元二次方程根的分布问题 【例3】　已知关于x的方程x2＋2（m－1）x＋2m＋6＝0. （1）若方程有两个实根α，β，且满足0＜α＜1＜β＜4，求实数m的取值范围； 解：设f（x）＝x2＋2（m－1）x＋2m＋6， f（x）的大致图象如图1所示， ∴ 解得－＜m＜－， ∴实数m的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，求实数m的取值范围. 解：方程至少有一个正根，则有三种可能的情况， ①有两个正根，此时如图2，可得 即∴－3＜m≤－1. ②有一个正根，一个负根，此时如图3，可得f（0）＜0，得m＜－3. ③有一个正根，另一根为0，此时如图4，可得∴m＝－3. 综上所述，当方程至少有一个正根时，实数m的取值范围为（－∞，－1]. 【规律方法】 　　一元二次方程根的分布问题可转化为二次函数的图象与x轴交点的情况，先将函数草图上下平移，确定根的个数，用判别式限制，再左右平移，确定对称轴有无超过区间，或是根据根的正负情况，用根与系数的关系进行限制. 训练2　（1）已知关于x的方程x2－2x＋m＝0的两根同号，则m的取值范围是（　C　） A.m≤1 B.m≤0 C.0＜m≤1 D.0≤m≤1 解析：关于x的方程x2－2x＋m＝0的两根同号，则判别式大于等于0且两根之积大于零，则有解得0＜m≤1，故选C. （2）已知二次函数y＝x2－6x＋m的两个零点都在区间[2，＋∞）内，则实数m ... ...