4.1.2　无理数指数幂及其运算性质

4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 课标要求 1.能结合教材探究了解无理数指数幂（数学抽象）. 2.结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算性质（逻辑推理、数学运算）. 情境导入 某大型国企2024年的生产总值为a，根据相关资料判断，未来20年，该企业每一年的生产总值是上一年的倍.据此回答下列问题. 　　（1）一年后，该企业的生产总值是多少？ 　　（2）五年后，该企业的生产总值是多少？ 知识点｜无理数指数幂的运算 问题　（1）阅读教材P108探究，思考是不是一个确定的实数； 提示：5是一串逐渐增大的有理数指数幂51.4，51.41，…和另一串逐渐减小的有理数指数幂51.5，51.42，…逐步逼近的结果，它是一个确定的实数. （2）前面我们学习了有理数指数幂的运算性质①aras＝ar＋s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）.能否把r，s的取值范围由有理数推广到实数？ 提示：能把有理数指数幂的运算性质推广到实数指数幂运算. 【知识梳理】 1.无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα（a＞0，α为无理数）是一个确定的　实数　. 2.实数指数幂的运算法则 （1）aras＝ar＋s（a＞0，r，s∈R）； （2）（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈R）； （3）（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈R）； （4）拓展：＝ar－s（a＞0，r，s∈R）. 　　提醒：对于无理数指数幂aα，特别强调底数a＞0，如果a＜0，比如（－1，无法判断其值是1还是－1. 【例1】　化简下列各式： （1）π4－π·ππ－2；（2）（；（3）×12. 解：（1）π4－π·ππ－2＝π4－π＋π－2＝π2. （2）（＝＝π2－1＝π. （3）×12＝×＝＝52＝25. 【规律方法】 关于无理数指数幂的运算技巧 （1）无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同； （2）若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算. 训练1　计算下列各式的值（式中字母均是正数）： （1）（；（2）a－π. 解：（1）原式＝（·＝26·m3＝64m3. （2）原式＝＝a0＝1. 提能点一｜实际问题中的指数运算 【例2】　从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水加满，以此继续下去，则至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%. 解析：由题意，得第n次操作后溶液的浓度为，令＜，验证可得n≥4.所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%. 【规律方法】 指数运算在实际问题中的应用 　　在成倍数递增（递减）、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等. 训练2　如果在某种细菌培养过程中，细菌每10分钟分裂一次（1个分裂成2个），那么经过1小时，一个这种细菌可以分裂成64个. 解析：经过1小时可分裂6次，可分裂成26＝64（个）. 提能点二｜实数指数幂的综合运用 【例3】　已知＋＝，求下列各式的值： （1）a＋a－1； 解：将＋＝两边平方，得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3. （2）a2＋a－2. 解：将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，即a2＋a－2＝7. 变式　在本例条件下求a2－a－2的值. 解：令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝（a2＋a－2）2－4＝72－4＝45，∴y＝±3，即a2－a－2＝±3. 【规律方法】 利用整体代换法求分数指数幂的和（差） （1）整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键； （2）利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式. 常见的变形公式：x2＋x－2＝（x±x－1）2 2，x＋x－1＝（±）2 2，＋＝（±）2 2. 训练3　已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两个根，且a＞b＞0，则＝. 解析：∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两个根，∴∵a＞b＞0，∴＞.∵＝＝＝ ... ...