5.3第二课时　诱导公式五、六

第二课时　诱导公式五、六 课标要求 1.了解公式五和公式六的推导方法（逻辑推理）. 2.准确记忆并灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明（数学运算）. 情境导入 　　我们容易计算像0，，这样的角的三角函数值，对于求－α与＋α的三角函数值，能否化为α的三角函数值计算？－α与α的终边有什么关系？如何求＋α的三角函数值？ 知识点一｜诱导公式五、六 问题　如图，在平面直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1（x1，y1），作点P1关于直线y＝x的对称点P2（x2，y2）. （1）以OP2为终边的角γ与角α有什么关系？ 提示：γ＝2kπ＋（－α）（k∈Z）. （2）角γ与角α的正（余）弦函数值有什么关系？ 提示：显然x2＝y1，y2＝x1，根据三角函数的定义，得到sin α＝y1，cos α＝x1，故sin（－α）＝cos α，cos（－α）＝sin α. （3）若OP1绕点O逆时针旋转后交单位圆于一点P3，那么以OP3为终边的角β与角α有什么关系？角β与α的正（余）弦函数值有什么关系？ 提示：β＝＋α；sin（＋α）＝cos α，cos（＋α）＝－sin α.　 【知识梳理】 　　提醒：（1）诱导公式五、六可概括为：±α的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.记忆口诀：“函数名改变，符号看象限”；（2）诱导公式一～六可概括为“奇变偶不变，符号看象限”.①“变”与“不变”是针对互余关系的函数名而言的，正弦变余弦、余弦变正弦；②“奇”“偶”是对k·±α（k∈Z）中的整数k来讲的. 【例1】　求下列各式的值： （1）sin 120°； 解：sin 120°＝sin（90°＋30°）＝cos 30°＝. （2）cos 135°； 解：cos 135°＝cos（90°＋45°）＝－sin 45°＝－. （3）sin211°＋sin279°； 解：sin211°＋sin279°＝sin211°＋sin2（90°－11°）＝sin211°＋cos211°＝1. （4）sin（π＋α）. 解：sin（π＋α）＝sin［π＋（＋α）］＝－sin（＋α）＝－cos α. 【规律方法】 用诱导公式求值的方法 （1）对于三角函数式的求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少； （2）解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α. 训练1　已知sin（π＋α）＝－，计算： 解：根据题意，由sin（π＋α）＝－sin α＝－，得sin α＝， 故cos（α－）＝cos（－α）＝cos［π＋（－α）］＝－cos（－α）＝－sin α＝－. （1）cos（α－）；（2）sin（＋α）. 解：根据题意，cos2α＝1－sin2α＝1－＝， 由sin α＝，知α为第一或第二象限角. 当α为第一象限角时，sin（＋α）＝cos α＝； 当α为第二象限角时，sin（＋α）＝cos α＝－. 综上所述，sin（＋α）＝±. 知识点二｜利用诱导公式化简 【例2】　化简： . 解： ＝ ＝－tan α. 【规律方法】 用诱导公式进行化简时的注意点 （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等. 训练2　化简： . 解： ＝＝tan 2α. 提能点｜诱导公式的综合应用 【例3】　已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角， 求的值. 解：因为sin α是方程5x2－7x－6＝0的根， 所以sin α＝＝2或－，由y＝sin α的定义知sin α∈[－1，1]，所以sin α＝－， 因为α为第三象限角，所以cos α＝－， 所以 ＝＝·＝＝. 变式　将条件中的“sin α”改为“cos α”， 求的值. 解：因为cos α是方程5x2－7x－6＝0的根， 可得cos α＝－，sin α＝－，tan α＝， ＝ ＝－tan α＝－. 【规律方法】 诱导公式综合应用要 ... ...