1.4.2　充要条件

1.4.2　充要条件 1.设x∈R，“若x＜2，则x＜3”的逆命题是（　　） A.若x＞2，则x＞3 B.若x＜3，则x＜2 C.若x≥2，则x≥3 D.若x≤3，则x≤2 2.“x＞0”是“＝x”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知c＝1，则“a，b的平均数大于1”是“a，b，c的平均数大于1”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.〔多选〕对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（　　） A.“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B.“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C.“x＜2”是“＜0”的充分不必要条件 D.“a＜6”是“a＜8”的充分条件 6.〔多选〕设全集为U，则下面选项中是“A B”的充要条件的是（　　） A.A∩B＝A B.（ UA） （ UB） C.（ UB）∩A＝ D.（ UA）∩B＝ 7.已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的　　　　条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 8.若集合A＝{－2，m2}，集合B＝{2，4}，则“A∩B＝{4}”的充要条件是　　　　. 9.从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空. （1）“x2－1＝0”是“｜x｜－1＝0”的　　　　； （2）“x＜5”是“x＜3”的　　　　. 10.指出下列各组命题中，p是q的什么条件： （1）p：a＝2，q：a2＝4； （2）p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； （3）p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； （4）p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集. 11.已知p：－1≤x＜3，若p是q的充分不必要条件，则q可以是（　　） A.－1≤x＜3 B.－1≤x＜2 C.x＜3 D.－2≤x＜0 12.〔多选〕使“x∈{x｜x≤0或x＞2}”成立的充分不必要条件是（　　） A.x≥0 B.x＜0或x＞2 C.x∈{－1，3，5} D.x≤0或x＞2 13.设U＝R，A＝{x｜mx2＋4x＋2＝0}.若 UA＝U，则m的取值范围为　　　　，集合A中有两个元素的充要条件是　　　　. 14.若集合A＝{x｜x＞－2}，B＝{x｜x≤b，b∈R}，试写出： （1）A∪B＝R的充要条件； （2）A∪B＝R的一个充分不必要条件； （3）A∪B＝R的一个必要不充分条件. 15.设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c.我们知道，如果△ABC为直角三角形，那么a2＋b2＝c2（勾股定理）.反过来，如果a2＋b2＝c2，那么△ABC为直角三角形（勾股定理的逆定理）.由此可知，△ABC为直角三角形的充要条件是a2＋b2＝c2. 请利用边长a，b，c分别给出△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 2 / 21.4.2　充要条件 知识点一｜逆命题 问题1　命题A：a，b＞0，若＞1，则a＞b； 命题B：a，b＞0，若a＞b，则＞1. 两命题有何特点？它们之间存在什么关系？ 提示：两个命题均为真命题，且两命题条件和结论互换. 【知识梳理】 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题. 【例1】�———�若x＞2，则x2－3x＋2＞0”的逆命题是（　　） A.若x2－3x＋2＜0，则x≥2 B.若x≤2，则x2－3x＋2≤0 C.若x2－3x＋2≤0，则x≥2 D.若x2－3x＋2＞0，则x＞2 解析：D　若x＞2，则x2－3x＋2＞0的逆命题为若x2－3x＋2＞0，则x＞2.故选D. 【规律方法】 　　对于命题的判断及形式改写，关键是要分清条件与结论，原命题与其逆命题的条件与结论对调，它们互为逆命题，原命题的真假性与其逆命题的真假性无关. 训练1　命题“如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为真命题.填（“真”或“假”） 解析：命题“如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 ... ...