章末整合提升(2)

一、两直线的平行与垂直 　理解两直线平行与垂直的条件；能用斜率判定两直线的平行或垂直，并能利用两直线平行或垂直的条件解决相关问题. 【例1】（1）设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：（m－1）x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的（　C　） A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立.当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立. （2）若点A（4，－1）在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是垂直； 解析：将点A（4，－1）的坐标代入ax－y＋1＝0，得a＝－，则·＝－×2＝－1，∴l1⊥l2. （3）若直线m1：x＋3by－5＝0与直线m2：2bx＋y＋2＝0平行，则b＝±. 解析：直线m1：x＋3by－5＝0与直线m2：2bx＋y＋2＝0平行，∴1＝6b2，∴b2＝，∴b＝±，同时截距不等，直线不重合. 【反思感悟】 1.判定两条直线平行、垂直的方法 （1）若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2 k1＝k2，l1⊥l2 k1k2＝－1（注意斜率不存在时的特殊情形）； （2）一般式方程下的平行与垂直：l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0. 2.解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想” 二、两直线的交点与距离问题 能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标；掌握平面上两点间的距离、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 【例2】（1）若点（1，a）到直线y＝x＋1的距离是，则实数a的值为（　C　） A.－1　B.5　　C.－1或5　D.－3或3 解析：因为点（1，a）到直线y＝x＋1的距离是，所以＝，即｜a－2｜＝3，解得a＝－1或a＝5，所以实数a的值为－1或5. （2）若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：（a－2）x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为（　B　） A. B. C. D. 解析：因为直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：（a－2）x＋3y＋2a＝0平行，所以3－a（a－2）＝0且2a2－18≠0，解得a＝－1.所以直线l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，所以直线l1与l2间的距离d＝＝.故选B. （3）（2025·苏州月考）已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P（0，4）到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为（　C　） A.0 B.1 C.2 D.3 解析：法一　由得即直线l过点（1，2）.设点Q（1，2），因为｜PQ｜＝＝＞2，所以满足条件的直线l有2条. 法二　依题意，设经过直线l1与l2交点的直线l的方程为2x＋3y－8＋λ（x－2y＋3）＝0（λ∈R），即（2＋λ）x＋（3－2λ）y＋3λ－8＝0.由题意得＝2，化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或λ＝，代入得直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0，所以直线l有2条. 【反思感悟】 两种距离的求解思路 （1）点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式； （2）两平行直线间的距离：①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式（利用公式前需把两平行线方程中x，y的系数化为对应相等的形式）. 三、圆的方程 　理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中掌握圆的标准方程与一般方程，能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 【例3】（1）已知a∈R，方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标与半径分别为（　D　） A.（2，4）， B.（2，4），5 C.（－2，－4）， D.（－2，－4），5 解析：由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝2时，方程不表示圆，舍去.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，圆心坐标为（－2，－4），半径为5. （2）设点M在直线2x＋y－1＝0上， ... ...