2.2.1　直线的点斜式方程

2.2.1　直线的点斜式方程 课标要求 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程和斜截式方程（数学抽象、数学运算）. 2.会用直线的斜截式方程解决直线的平行与垂直问题（数学运算、逻辑推理）. 情境导入 　　射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，并且射击手达到了上述的两个动作要求.试从数学角度分析子弹是否会命中目标？ 知识点一｜直线的点斜式方程 问题1　（1）经过原点的直线有多少条？经过原点且斜率为1的直线唯一确定吗？由此你能得到什么结论？ 提示：无数条；唯一确定；平面内一点和斜率确定一条直线. （2）由上述结论，经过点P0（x0，y0）且斜率为k的直线与直线上任一点P（x，y）有什么关系？试建立它们的代数关系式. 提示：如图所示，当P与P0不重合时，由斜率公式k＝得y－y0＝k（x－x0）.当P与P0重合，即x＝x0，y＝y0时，同样满足上式，这说明任意P（x，y）均满足：y－y0＝k（x－x0）. 【知识梳理】 1.方程　y－y0＝k（x－x0）　由直线上一定点（x0，y0）及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称　点斜式　. 2.特别地，当k＝0时（如图1），过P0（x0，y0）的直线可以写成　y＝y0　；当k不存在时（如图2），过P0（x0，y0）的直线可以写成　x＝x0　. 　　提醒：（1）点斜式应用的前提条件是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能用此种形式；（2）＝k与y－y0＝k（x－x0）是不同的，前者缺少一个点（x0，y0），后者才是整条直线. 【例1】根据下列给定的条件，分别求直线的方程： （1）直线过点（2，－3），倾斜角为135°； 解：因为直线过点（2，－3），倾斜角为135°，所以直线的斜率k＝tan 135°＝－1，所以直线的点斜式方程为y－（－3）＝－（x－2），即y＋3＝－（x－2）. （2）直线经过点A（1，2），B（－3，5）； 解：因为直线经过点A（1，2），B（－3，5），所以直线的斜率为k＝＝－，所以直线的点斜式方程为y－2＝－（x－1）. （3）直线经过原点，倾斜角为0°； 解：因为直线经过原点，倾斜角为0°，所以斜率为0，所以直线方程为y＝0. （4）直线经过点P（2，－1），倾斜角为90°. 解：因为直线经过点P（2，－1），倾斜角为90°，所以斜率不存在，直线方程为x＝2. 【规律方法】 求直线的点斜式方程的思路 训练1　（1）已知直线的方程为y＋2＝－x－1，则（　C　） A.该直线过点（－1，2），斜率为－1 B.该直线过点（－1，2），斜率为1 C.该直线过点（－1，－2），斜率为－1 D.该直线过点（－1，－2），斜率为1 解析：直线的方程可化为点斜式y－（－2）＝－[x－（－1）]，故直线过点（－1，－2），斜率为－1. （2）（2025·龙岩月考）已知过定点（4，5）的直线m的一个方向向量是d＝（3，2），则直线m的点斜式方程为y－5＝（x－4）. 解析：因为直线的一个方向向量是d＝（3，2），所以直线的斜率为.又因为直线过点（4，5），所以直线的点斜式方程为y－5＝（x－4）. 知识点二｜直线的斜截式方程 问题2　（1）如果直线过点P0（0，b），斜率为k，如何求直线的方程？ 提示：由直线的点斜式方程，得y－b＝k（x－0），即y＝kx＋b. （2）如果直线方程为y＝kx＋b，则实数b的符号与经过的点P（0，b）的位置有什么联系？ 提示：当b＞0时，点P（0，b）在y轴的正半轴上；当b＝0时，点P（0，b）为坐标原点；当b＜0时，点P（0，b）在y轴的负半轴上. 【知识梳理】 我们把直线l与y轴的交点（0，b）的纵坐标b叫做直线l在y轴上的　截距　.方程y＝kx＋b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，所以方程　y＝kx＋b　叫做直线的斜截式方程，简称　斜截式　. 　　提醒：（1）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程 ... ...