3.1.1第一课时　椭圆及其标准方程（一）

第一课时　椭圆及其标准方程（一） 课标要求 1.理解并掌握椭圆的定义（数学抽象）. 2.掌握椭圆的标准方程的推导（逻辑推理）. 3.会求椭圆的标准方程（数学运算）. 知识点一｜椭圆的定义 问题1　取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2（如图），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 【知识梳理】 1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的　　　　等于　　　　（大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆. 2.焦点：两个定点F1，F2. 3.焦距：两焦点间的距离｜F1F2｜. 4.符号表示：｜MF1｜＋｜MF2｜＝　　　　（常数）且2a　　｜F1F2｜. 　　提醒：（1）当2a＝｜F1F2｜时，点的轨迹是线段F1F2；（2）当2a＜｜F1F2｜时，点的轨迹不存在. 【例1】　下列说法正确的是（　　） A.已知点F1（－4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B.已知点F1（－4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C.平面内到点F1（－4，0），F2（4，0）的距离之和等于点M（5，3）到点F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D.平面内到点F1（－4，0），F2（4，0）的距离相等的点的轨迹是椭圆 【规律方法】 　椭圆的定义具有双向作用，即若｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a（2a＞｜F1F2｜），则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. 训练1　甲：动点P到两定点A，B的距离之和｜PA｜＋｜PB｜＝2a（a＞0，a为常数）；乙：P点轨迹是椭圆.则甲是乙的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 知识点二｜椭圆的标准方程 问题2　（1）如图1，观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？ （2）类比圆的标准方程推导过程，你能利用椭圆定义推导出椭圆的标准方程吗？ （3）如图2，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是（0，－c），（0，c），a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ 【知识梳理】 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1（a＞b＞0） ＋＝1（a＞b＞0） 图形 焦点坐标 F1（－c，0），F2　 F1　　，F2（0，c） 焦距 ｜F1F2｜＝　　　 a，b，c的关系 c2＝　　　 　　提醒：（1）x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上；（2）在椭圆的标准方程中不一定有a＞b＞c成立，只需a＞b，a＞c即可，b，c的大小关系不确定. 【例2】　（链接教材P107例1）求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别为F1（－3，0），F2（3，0），且椭圆上一点M与两焦点的距离和等于10； （2）两个焦点的坐标分别为F1（0，－2），F2（0，2），且椭圆经过点（4，3）； （3）经过点A（，－2）和点B（－2，1）. 【规律方法】 求椭圆标准方程的方法 　（1）定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出方程； （2）待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可，即“先定位，后定量”. 　　提醒：在求椭圆的标准方程时，若焦点的位置不确定，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可. 训练2　（1）已知点A（－3，0），B（0，2）在椭圆＋＝1上，则椭圆的标准方程为（　　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋＝1 （2）求满足过点（，－），且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程. 提能点｜椭圆的定义与标准方程的简单应用 【例3】　（1）已知椭圆＋＝1上的一点P到椭圆一 ... ...