3.1.2第一课时　椭圆的几何性质

第一课时　椭圆的几何性质 课标要求 1.掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义（直观想象）. 2.会利用椭圆的几何性质解决相关问题（数形结合）. 情境导入　 �———�天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现. 椭圆有许多几何性质，比如边界（范围）、对称性、特殊点等等，下面我们利用椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质. 知识点一｜椭圆的几何性质 问题1　（1）如图所示，椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），你能利用方程确定椭圆的边界吗？ 提示：由方程＋＝1（a＞b＞0），得＝1－≥0，得－a≤x≤a，同理可得－b≤y≤b，故椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成的矩形内. （2）如图所示，椭圆具有怎样的对称性？如何用方程加以说明？ 提示：既关于坐标轴为轴对称，又关于原点为中心对称.若（x，y）满足方程，则易知（x，－y），（－x，y），（－x，－y）也满足. （3）如图所示，椭圆中有哪些特殊点？坐标是什么？ 提示：令x＝0，则y＝±b；令y＝0，则x＝±a.故（±a，0），（0，±b）为特殊点. 【知识梳理】 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1（a＞b＞0） ＋＝1（a＞b＞0） 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1（－a，0），A2（a，0）， B1（0，－b），B2（0，b） A1（0，－a），A2（0，a）， B1（－b，0），B2（b，0） 轴长 长轴长＝　2a　，短轴长＝　2b　 焦点 F1（－c，0），F2　（c，0）　 F1（0，－c），F2　（0，c）　 焦距 ｜F1F2｜＝　2c　 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心　（0，0）　 离心率 e＝　　（0＜e＜1） 　　提醒：（1）椭圆的焦点一定在它的长轴上；（2）椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点；（3）椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. 【例1】（链接教材P112例4）求椭圆9x2＋25y2＝225的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 解：将已知椭圆方程化成标准方程为＋＝1，所以a＝5，b＝3，c＝＝4. 因此，长轴长2a＝10，短轴长2b＝6， 离心率e＝＝. 焦点坐标分别是为F1（－4，0）和F2（4，0）， 顶点坐标分别是为A1（－5，0），A2（5，0），B1（0，－3），B2（0，3）. 【规律方法】 　用标准方程研究椭圆几何性质的步骤 （1）将椭圆方程化为标准形式； （2）确定焦点位置，不确定的需要分类讨论； （3）求出a，b，c； （4）写出椭圆的几何性质. 　　提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍. 训练1　（1）〔多选〕已知椭圆C：＋＝1的焦点分别是F1，F2，P为C上的动点，则（　　） A.（0，3）是一个顶点 B.C的长轴长为2 C.｜PF1｜的最小值为2－ D.C的离心率为 （2）若椭圆mx2＋y2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则实数m的值为　　，焦点坐标为　　. 答案：（1）AC　（2）4　（0，±） 解析：（1）对于A，因为a2＝20，b2＝18，所以a＝2，b＝3，（±2，0）与（0，±3）是椭圆的顶点，故A正确；C的长轴长2a＝4，B错误；｜PF1｜min＝a－c＝2－，C正确；C的离心率e＝＝，D错误.故选A、C. （2）设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，由题意得2a＝2×2b，则a2＝4b2，又椭圆标准方程为＋y2＝1，且焦点在y上，所以1＝，即m＝4，c2＝1－＝，即焦点坐标为（0，±）. 知识点二｜由椭圆的几何性质求标准方程 【例2】分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程： （1）已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8； 解：由题意知，2c＝8，c＝4， ∴e＝＝＝， ∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48， ∴椭圆的标准方程是＋＝1. （2）已知椭圆的离心率e＝，短轴长为8. 解：由e＝＝得c ... ...