1.1.1第一课时　空间向量及其线性运算

第一课时　空间向量及其线性运算 课标要求 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念（数学抽象、直观想象）. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程（数学抽象、直观想象）. 3.掌握空间向量的线性运算及其运算律，体会数学运算在研究几何问题中的作用（逻辑推理、数学运算）. 知识点一｜空间向量的有关概念 问题1　（1）在必修第二册中我们已经学面向量，回忆一下平面向量是如何定义的，平面向量如何表示，什么是相等向量？ （2）你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？ 【知识梳理】 1.空间向量的概念与表示 （1）概念：在空间，具有　　和　　的量叫做空间向量；空间向量的　　叫做空间向量的长度或　　； （2）表示法： 2.几个特殊的空间向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为　　的向量 0 单位向量 模为　　的向量 ｜a｜＝1或｜｜＝1 续表 特殊向量 定义 表示法 相反向量 与向量a长度　　而方向　　的向量叫做a的相反向量 －a 相等向量 方向　　且模　　的向量 a＝b或＝ 共线向量或平行向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合（规定：零向量与任意向量平行） a∥b或∥ 　　提醒：（1）单位向量、零向量都只规定了向量的大小而没有规定方向，单位向量有无数多个，它们的方向并不一定相同，故不一定相等，而零向量的方向是任意的，且所有的零向量都相等；（2）两个空间向量相等，则它们的方向相同，模相等，但起点和终点未必相同；（3）空间两向量同样不能比较大小. 【例1】　（1）〔多选〕下列命题为真命题的是（　　） A.若空间向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，则a＝b B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有＝ C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D.将空间中所有的单位向量移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 （2）如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中： ①试写出与是相等向量的所有向量； ②试写出的相反向量. 【规律方法】 　空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念. 训练1　下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A.方向相反的两个向量是相反向量 B.空间向量就是空间中的一条有向线段 C.相等向量其方向必相同 D.空间中，若a∥b，b∥c，则a∥c 知识点二｜空间向量的加、减运算 问题2　（1）平面向量的加、减法运算有哪些？满足哪些运算律？ （2）上面的平面向量的加、减法运算及运算律放在空间中还适用吗？为什么？ 【知识梳理】 名称 代数形式 几何形式 运算律 加法 ＝　＝a＋b 交换律：a＋b＝　　　； 结合律：a＋（b＋c） ＝　　 减法 ＝　＝a－b 　　提醒：（1）求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，必须共起点；（2）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝；（3）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即＋＋＋…＋＝0；（4）一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量. 【例2】　（1）化简－＋所得的结果是（　　） A. B. C.0 D. （2）如图，已知四面体ABCD，E，F，G分别是边BC，CD，DB的中点，化简以下式子： ①＋－＝　　　　； ②－－＝　　　　. 【规律方法】 　空间向量加、减运算的两个技巧 （1）巧用相反向量：灵活运用相反向量实现向量加、减运算的相互转化； （2）巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自 ... ...