(
课件网) 1.7 平面向量的应用举例 第1章 平面向量及其应用 湘教版A版数学必修第二册 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 必备知识解读 02 知识点1 平面几何中的向量方法 1 向量在平面几何中常见的应用 （1）证明线线平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理： ． （2）证明线线垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（或线段） 是否垂直等，常用向量垂直的条件： . （3）求夹角问题，利用夹角公式： , . （4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：| 或 . 2 向量法解决平面几何问题的“三步曲” 学思用·典例详解 例1-1 在四边形中，若，，则四边形 是( ) C A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 【解析】由知， 四边形是平行四边形.由 知， ， 四边形 是矩形. 例1-2 已知在平行四边形中，，在对角线上，并且 .求证：四边 形 是平行四边形. 【解析】由已知可设, , 根据题意画出图形，如图1.7-1所示，则 , . 图1.7-1 因为 ， 所以,即，所以四边形 是平行四边形. 知识点2 向量在物理中的应用 向量是在物理的背景下建立起来的，物理中的一些量，如位移、力、速度、加 速度、功等都与向量有着密切的联系，因此可以利用向量来解决物理中的问题.具体 操作时，要注意将物理问题转化为向量关系式，通过向量的运算来解决，最后用来 解释物理现象. 1 力学问题的向量处理方法 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的 作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量．用向量知识解决 力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上． 2 速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠 加也用到向量的合成． 3 向量与功、动量 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实 质是向量的数量积. （1）力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即， .功 是一个实数，它可正，可负，也可为零. （2）动量涉及物体的质量，物体运动的速度 ，因此动量的计算是向量的数 乘运算． 学思用·典例详解 例2-3 某物体做斜抛运动，初速度，与水平方向成 角，不计空气 阻力，则该物体在水平方向上的速度的大小是___ . 5 图1.7-2 【解析】如图1.7-2所示，该物体在水平方向上的速度大小为 . 例2-4 [教材改编P56例4] (2025·重庆市渝北中学校期中)已知两个力， 的夹角为 ，它们的合力大小为，合力与的夹角为 ，那么 的大小为( ) A A. B. C. D. 【解析】如图1.7-3，由于 ，的大小为． 图1.7-3 题型解析 03 题型1 巧设向量解决代数问题 1 构造向量证明恒等式 教材深挖POINT 本题型可看作是对教材第54页例1的挖掘. 例5 已知,其中，求证： . 【解析】因为，所以且 , 设向量,，,的夹角为 ， 则为非零向量，，， ， 由题设等式可得,即，当 为非零向量时， 则，所以，所以，又，所以 . 当为零向量时，,显然 也成立. 2 构造向量解方程 例6 解方程: . 【解析】构造非零向量,,，设,的夹角为 ,由 向量数量积的坐标公式得 ， 因为,所以 ， 所以 ， 所以，所以 且方向相同， 所以且若，则 ,故 ,解得 . . . 3 构造向量求最值 例7 求函数 的最大值. 【解析】构造向量,,，则， ， 由， ， 得，当且仅当与 同向共线时，等号成立， 由，解得 ， 即当时，函数取得最大值， . 题型2 用向量解决平面几何中的问题 1 平行问题 图1.7-4 例8 如图1.7-4，已知，，是 的三条高，且交于 点，于，于.求证： . 思路点拨 要证明 ，由向量共线定理知，只需证明 . 【解析】,, . 设,则 . 同理 . 于是 ， ,即 . 2 垂直问题 图1.7-5 ... ...
