专题(九)菱形的判定方法 【教材母题】(教材P123作业题第4题) 已知：如图，O是矩形ABCD 的对角线的交点。作DE∥AC，CE∥BD，DE，CE 相交于点 E。求证：四边形OCED 是菱形。 【思想方法】菱形的判定方法是证明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分。 【变式1】(通过定义判定) 1.如图，在 ABCD中，E为边 BC上的一点，连结AE，BD，且AE=AB。 (1)求证：∠ABE=∠EAD。 (2)若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形。 【变式2】(通过四边相等判定) 2.如图，已知四边形ABCD为菱形，点 E，F在对角线 AC上，AE=CF。求证：四边形 BEDF为菱形。 【变式3】(通过对角线互相垂直平分判定) 3.如图，过□ABCD的对角线AC与BD 的交点E 作两条互相垂直的直线，分别交边 AB，BC，CD，DA于点 P，M，Q，N。 (1)求证：△PBE≌△QDE。 (2)顺次连结点 P，M，Q，N，求证：四边形PMQN是菱形。 拓展性任务 1.如图,在△ABC 中,P 是 AC 的中点,点 D 在BC 的延长线上,过点 P 的直线 MN ∥BD,∠ACB,∠ACD 的平分线分别交 MN 于点E,F。 (1)请判断四边形 AECF 的形状，并说明理由。 (2)当△ABC满足什么条件时,四边形AECF是菱形 请说明理由。 2.如图,在 ABCD中,60°<∠ABC<90°,点 E在边 BC上(不与点 B,点 C 重合),线段 EC 的中垂线交对角线 BD 于点 F,连结 AE,AF,EF,CF,已知AF=EF。 (1)求证:四边形ABCD 是菱形。 (2)若∠ABC=2∠AEF,AB=AE,AB∥FE,求证:BF=CF+CE。 3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点D,AE平分∠BAC,分别与 BC,CD 相交于点E,F,EH⊥AB 于点H,连结FH。求证:四边形 CFHE 是菱形。 4.如图，将等腰三角形 ABC 绕顶点 B 按逆时针方向旋转α°到△A BC 的位置,AB 与A C 相交于点 D,AC与A C ,BC 分别相交于点E,F。 (1)求证:△BCF≌△BA D。 (2)当 时，判定四边形 A BCE 的形状，并说明理由。 【教材母题】略 1.略 2.略 3.略 拓展性任务 1.(1)四边形 AECF 是矩形。理由略 (2)当∠ACB=90°时,四边形 AECF 是菱形。理由略 2.略 3.略 4.(1)略 (2)四边形 A BCE是菱形。理由略
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