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课件网) 7.5 正态分布 第七章 2026 内容索引 01 02 03 自主预习 新知导学 合作探究 释疑解惑 随堂练习 课标定位素养阐释 1.了解正态曲线和正态分布的意义. 2.理解正态曲线的性质. 3.明确正态分布中参数μ,σ的意义及其对正态曲线形状的影响. 4.了解3σ原则,会用正态分布解决实际问题. 5.提升数学运算、直观想象、数学建模的核心素养,培养利用数形结合思想解决问题的能力. 自主预习 新知导学 正态分布 (3)由服从正态分布的随机变量X的密度函数及图象可以发现,正态曲线还有以下特点: ③当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴. (4)参数μ,σ对正态曲线形状的影响 ①在参数σ取固定值时,正态曲线的位置由μ确定,且随着μ的变化而沿 x轴平移. ②当μ取定值时,因为正态曲线的峰值 与σ成反比,而且对任意的σ>0,正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1.因此,当σ较小时,峰值高,正态曲线“ 瘦高 ”,表示随机变量X的分布比较集中;当σ较大时,峰值低,正态曲线 “ 矮胖 ”,表示随机变量X的分布比较分散. 参数μ反映了正态分布的集中位置,σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度. (5)若X~N(μ,σ2),则E(X)= μ ,D(X)= σ2 . (6)假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.特别地, P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈ 0.682 7 , P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈ 0.954 5 , P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈ 0.997 3 . 在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取区间 [μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则. 3.(1)已知X~N(0,1),则X在区间(-∞,-2)内取值的概率约为( ) A.0.954 B.0.046 C.0.977 D.0.023 (2)已知随机变量ξ服从正态分布N(4,σ2),若P(Y>8)=0.4,则P(Y<0)= . 解析:(1)因为X~N(0,1),所以X在区间(-∞,-2)和(2,+∞)内取值的概率相等.又知X在区间[-2,2]上取值的概率约为0.954 5,所以X在区间(-∞,-2)内取值的概率 (2)因为随机变量Y服从正态分布N(4,σ2),μ=4,且P(Y >8)=0.4,所以P(Y <0) =P(Y >8)=0.4. 答案:(1)D (2)0.4 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)正态密度函数解析式中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方差.( × ) (2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量.( √ ) (3)正态曲线与x轴围成图形的面积随参数μ,σ的变化而变化.( × ) (4)正态曲线关于y轴对称.( × ) 合作探究 释疑解惑 探究一 正态曲线及性质 【例1】 一个正态曲线的图象如图所示,则随机变量X的样本均值μ= ,样本方差σ2= . 答案:20 2 利用正态曲线的性质求参数μ,σ (1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此性质结合图象求μ. (2)正态曲线在x=μ处达到峰值 ,由此性质结合图象求σ. 探究二 利用正态分布的性质求概率 【例2】 (1)已知随机变量X服从正态分布N(0,σ2),若P(X>2)=0.023,则P(-2
2)=0.023, 所以P(X<-2)=0.023. 所以P(-22)-P(X<-2)=1-2×0.023=0.954. (2)因为随机变量Y服从正态分布N(1,4),所以正态曲线关于直线x=1对称, 答案:(1)C (2)B 1.把例2(1)改为:随机变量X服从正态分布N(1,σ2),P(X<4)=0.84,则 P(X<-2)= . 解析:因为随机变量X服从正态分布N(1,σ2),所以μ=1,即正态曲线关于直线x=1对称. 所以P(X<-2)=P(X>4)=1-P(X<4)=0.16. 答案:0.16 2.把例2(1)改为:随机变量X~N(0,1),若P(X>1)=p, 则P(-1
