2025—2026 学年度下学期东北育才学校 高三年级数学科目假期质量测试 暨第六次模拟考试试题 考试时长:120 分钟 满分:150 分 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分。每小题给出的备选答案中，只有一个是 符合题意的。 1. 下列求导运算正确的是( ) A. B. C. D. 2. 已知命题 ,则 为( ) A. B. C. D. 3. 已知 ,则 ( ) A. B. C. D. 4. 离散型随机变量 的取值为 . 若数列 为等差数列,则 ( )A. B. C. D. 5. 已知定义在 上的单调递增函数 ,且 为奇函数,则不等式 的解集为( ) A. B. C. D. 6. 若函数 在 是单调递减，则 的最大值是( ) A. B. C. D. 7. 已知 为样本空间中的两个随机事件,其中 ,则 ( ) A. B. C. D. 8. 已知椭圆 的左右焦点分别为 是椭圆上一点,且 成等差数列,则椭圆离心率的最大值为 ( ) A. B. C. D. 二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 满分 18 分。每小题给出的备选答案中, 有多个选项 是符合题意的。全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 选错或不选得 0 分. 9. 下列说法中正确的是( )A. 从装有 3 个红球,4 个白球的袋中任意摸出 3 个球,事件 “至少有 2 个红球”,事件 “都是白球”,则事件 与事件 是对立事件 B. 若随机变量 ，且 ，则 C. 若 ,则 D. 若随机变量 满足 ,则 10. 是正方体 中线段 上的动点 (点 异于点 ),下列说法正确的是 ( ) A. B. 异面直线 与 所成的角是 C. 的大小与 点位置有关 D. 二面角 的大小为 11. 已知 为正实数， ，则下列说法正确的是( ) A. B. 的最小值为 -1 C. 的最小值为 12 D. 的最小值为 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 满分 15 分。 12. 已知向量 ，且 ，则 _____. 13. 已知 ,则 14. 已知等差数列 的前 项和为 ,且满足 ,则数列 的通项公式为_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 满分 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分)记 的内角 的对边分别为 ，已知 . (1)求 . (2)若点 在边 上，且 ，求 . 16. (本小题满分 15 分)如图所示，矩形 和梯形 所在平面互相垂直， (1)求证:平面 平面 ； (2)当 的长为何值时，二面角 的大小为 . 17. (本小题满分 15 分) 设 是函数 的一个极值点. (1)求 与 的关系(用 表示 )，并判断 的的单调性； (2)设 ， ，若存在 ， ，使得 成立，求 的取值范围. 18. (本小题满分 17 分) 一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐, 要么不出现音乐; 每盘游戏击鼓三次后, 出现三次音乐获得 150 分, 出现两次音乐获得 100 分, 出现一次音乐获得 50 分, 没有出现音乐则获得-300 分. 设每次击鼓出现音乐的概率为 ,且各次击鼓出现音乐相互独立. (1)若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为 ，求 的最大值点 ； (2)以(1)中确定的 作为 的值，玩 3 盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量 ，求每盘游戏出现音乐的概率 ,及随机变量 的期望 ; (3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了. 请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 19. (本小题满分 17 分) 我们约定, 如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴,则称它们互为 “姊妹” 圆锥曲线. 已知椭圆 ,双曲线 是椭圆 的 “姊妹” 圆锥曲线, 分别为 的离心率,且 ,点 分别为椭圆 的左、右顶点. (1)求双曲线 的方程； (2)设过点 的动直线 交双曲线 右支于 两点，若直线 的斜率分别为 . (i) 试探究 与 的比值 是否为定值. 若是定值,求出这个定值; 若不是定值,请说明理由; (ii) 求 的取值范围. 参考答案 一。选择题(共 8 小题) 1. 下列求导运算正确的是(D) A. B. C. D. 2. 已知命题 ,则 为 A. B. C. D. 3. 已知 ,则 ( ) A. B. C. D. 解: . . 故选: . 4. 离散型随机变量 的取值 ... ...
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