2025-2026学年人教A版数学选择性必修三课后达标6.3.1 二项式定理 同步练习（含解析）

6.3.1　二项式定理 一．选择题 1.化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是(　　) A.(2x+2)5 B.2x5 C.(2x-1)5 D.32x5 2.在的展开式中,x2的系数为(　　) A.- B. C.- D. 3.在的展开式中,常数项为(　　) A.5 B.10 C.-20 D.40 4.已知的展开式的第4项等于5,则x等于(　　) A. B.- C.7 D.-7 5.(多选题)关于多项式的展开式,下列结论正确的是(　　) A.各项系数之和为1 B.各项系数的绝对值之和为212 C.存在常数项 D.x3的系数为40 6.已知的展开式中,常数项为15,则n的值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 77.在的展开式中,x的幂指数是整数的项共有(　　) A.3项 B.4项 C.5项 D.6项 8.在的展开式中,若前三项的系数成等差数列,则展开式中有理项的项数为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 9.若的展开式中含有常数项,则正整数n取得最小值时常数项为(　　) A.- B.-135 C. D.135 10.在(3x+2y+z)5的展开式中,xy3z项的系数为(　　) A.120 B.240 C.360 D.480 11.(多选题)对于(n∈N*),有以下四种判断,其中判断正确的有(　　) A.存在n∈N*,展开式中有常数项 B.对任意n∈N*,展开式中没有常数项 C.对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N*,展开式中有x的一次项 二．填空题 12.在(1-i)10(i为虚数单位)的展开式中,第7项为　　　　　. 13.根据二项式定理,(1+x)10的二项展开式共有　 项. 14.若(1+x)10=ai(1-x)i,则a9=　　　　　. 15.若的展开式中x5的系数是-80,则实数a=　　　　　. 16.设a≠0,n是大于1的自然数,的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a=　　　　　. 三．解答题 17.化简:S=1-2+4-8+…+(-2)n(n∈N*). 18.已知的展开式中,第3项与第5项的二项式系数之比为2∶5. (1)求n的值; (2)求(2x+1)的展开式中含x2项的系数. 19.已知m,n∈N*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为19,求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数. 20.已知在的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3. (1)求展开式中的所有有理项; (2)求n+9+81+…+9n-1的值. 21.已知f(x)=(1+x)m,g(x)=(1+2x)n(m,n∈N*). (1)若m=3,n=4,求f(x)g(x)的展开式中含x2的项; (2)令h(x)=f(x)+g(x),h(x)的展开式中含x的项的系数为12,那么当m,n为何值时,含x2的项的系数取得最小值 6.3.1　二项式定理 一．选择题 1.D 原式=[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5. 2.C 的通项为Tk+1==(-1)k22k-6x3-k, 令3-k=2,则k=1,因此x2的系数为(-1)1×2-4×=-,故选C. 3.D 由题意知Tk+1=)5-k=(-2)k, 令=0,得k=2,因此T3=(-2)2=40. 4.B T4=x4=5,解得x=-. 5.BCD 对于A,在中,令x=1,可得展开式中各项系数之和为26,所以A不正确; 对于B,的展开式中各项系数的绝对值之和与的展开式中各项系数之和相等,在中,令x=1可得展开式中各项系数之和为212,故B正确; 对于C,展开式,其含义是6个相乘,在6个相同因式中,每个因式可取1,,-x三者其一乘到一起,所有情况相加再进行合并,于是6个因式中1,,-x各取两个时便得到常数项,故C正确; 对于D,同C选项的分析可得含x3的系数为[×(-1)3]×(×13)+(×21)×[×(-1)4]=40,故D正确.故选BCD. 6.D 展开式的通项为Tk+1=(x2)n-k·(-1)k·=(-1)kx2n-3k.令2n-3k=0,得n=k(n,k∈N*).若k=2,则n=3不符合题意;若k=4,则n=6,此时(-1)4·=15,所以n=6. 7.C Tk+1=,又k≤24,且k∈N,故当k=0,6,12,18,24时,x的幂指数为整数,因此x的幂指数是整数的共有5项. 8.C 二项展开式的前三项的系数分别为1,,由其成等差数列,可得2=1+,整理得n=1+,解得n=8(n=1舍去),故展开式的通项Tk+1=.若为有理项,则有4-∈Z,k可取0,4,8,故展开式中有理项的项数为3. 9.C ∵Tk+1=(3x2)n-k··(x-3)k=·3n-k··x2n-5k,∴2n-5k=0, 又n∈N*,k≥0,∴当n=5,k=2时满足题意,此时常数项为·33·.故选C. 10.D (3x+2y+z)5表示5个 ... ...