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课件网) 7.5 正态分布 1. 通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量（数学抽象）. 2. 通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征 （直观想象）. 3. 了解正态分布的均值、方差及其含义，并会用正态分布去解决实际问题 （数学建模、数学运算）. 课标要求 现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中 的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴， 但取一点的概率为0，对于这样的问题我们又如何用数学模型来刻画呢？ 情境导入 知识点一 正态曲线及其特征 01 知识点二 利用正态分布的性质求概率 02 知识点三 正态分布的实际应用 03 课时作业 04 目录 知识点一 正态曲线及其特征 01 PART 问题 （1）下列随机变量是离散型随机变量吗？ ①掷一枚骰子一次，用X表示所得点数； ②白炽灯的使用时间. 提示：①是，②不是. （2）教材P74例2的高尔顿板试验中，随着重复次数的增加，频率分布 直方图的形状会越来越像一条钟形曲线，那么这条曲线是否存在函数 解析式呢？ 提示：存在. 【知识梳理】 1. 正态曲线：若f（x）＝ ，x∈R，其中μ∈R，σ＞0为 参数，我们称f（x）为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称 正态曲线（如图）. 2. 正态分布 （1）若随机变量X的概率分布密度函数为f（x），则称随机变量X服从 正态分布，记为 .当μ＝ ，σ＝ 时，称随 机变量X服从标准正态分布； （2）若X～N（μ，σ2），则E（X）＝ ，D（X）＝ . X～N（μ，σ2） 0 1 μ σ2 3. 正态曲线的特点 （1）非负性：对 x∈R，f（x）＞0，它的图象在x轴的 ； （2）定值性：曲线与x轴之间的面积为 ； （3）对称性：曲线是单峰的，它关于直线 对称； （4）最大值：曲线在 处达到峰值 ； （5）当｜x｜无限增大时，曲线无限接近 轴. 上方 1 x＝μ x＝μ x 提醒：（1）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而 沿x轴平移，如图1；（2）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲 线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”， 表示随机变量X的分布比较分散，如图2. 【例1】 （1）〔多选〕已知三个正态密度函数φi（x）＝ （x∈R，i＝1，2，3）的图象如图所示，则下列结论正 确的是（ AD ） AD A. σ1＝σ2 B. μ1＞μ3 C. μ1＝μ2 D. σ2＜σ3 解析： 根据正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右 边，所以μ1＜μ2＝μ3，B、C错误；又σ越小数据越集中，图象越瘦高， 所以σ1＝σ2＜σ3，A、D正确. （2）已知正态曲线的函数解析式为f（x）＝ （x∈R）， 则μ＝ ，σ＝ . 解析： 将所给的函数解析式与正态分布密度函数的解析式对照可得 μ＝2，σ＝3. 2 3 【规律方法】 1. 利用正态曲线的特点求参数μ，σ （1）正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象 求出μ； （2）正态曲线在x＝μ处达到峰值 ，由此特点结合图象可求出σ. 2. “σ”决定数据的集中程度的强弱，σ越大，数据集中程度越弱，正态曲 线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”，数据越集中. 训练1 （1）〔多选〕下列关于标准正态分布N（0，1）的概率密度函数 f（x）＝ · 的正确的描述是（ ABC ） A. f（x）为偶函数 B. f（x）的最大值是 C. f（x）在（0，＋∞）上是单调递减 D. f（x）关于x＝1对称 ABC 解析： 由正态分布密度函数f（x）＝ · ，可得f（x）的图象 关于x＝0对称，所以f（x）为偶函数，所以A正确，D不正确；根据正态 分布曲线的性质得，当x＝0时，函数f（x）取得最大值f（0）＝ ·e0＝ ，所以B正确；根据正态分布曲线的性质，可得f（x）在（－∞，0 ... ...
