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课件网) ·选择性必修第三册· 第八章 成对数据的统计分析 8.2.2 一元线性回归模型参数的 最小二乘估计（第一课时） 学习目标 1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义； 2.了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法；（重点） 3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．（难点） 情景导入 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第一课时） 01 复习回顾，引入新知 一元线性回归模型 Y称为因变量或响应变量， x称为自变量或解释变量， e是Y与bx+a之间的随机误差． a称为截距参数， b称为斜率参数. 一元线性回归模型 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第一课时） 02 探究新知 在一元线性回归模型中，表达式Y=bx+a+e刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，需要根据成对样本数据进行估计. 由模型的建立过程可知，参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系，因此通过成对样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近. 探究新知 探究 利用散点图找出一条直线，使各散点在整体上与此直线尽可能接近. 方法一：采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置. 然后测量出此时的斜率和截距，就可得到一 条直线，如上图所示. 探究新知 方法二：在图中选择这样的两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同，把这条直线作为所求直线，如右图所示. 方法三：在散点图中多取几对点，确定出几条直线的方程，再分别求出这些直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为所求直线的斜率和截距，如右图所示. 探究新知 上面这些方法虽然有一定的道理，但比较难操作，我们需要考虑其他可行方法.先进一步明确我们面临的任务: 从成对样本数据出发，用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”. 通常，我们会想到利用点到直线y=bx+a的“距离”来刻画散点与该直线的接近程度，然后用所有“距离”之和刻画所有样本观测数据与该直线的接近程度. 设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1, y1), (x2, y2), , (xn, yn), 由yi=bxi+a+ei (i=1, 2, , n)，得 显然|ei|越小，表示点(xi , yi)与点(xi , bxi+a)的“距离”越小，即样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小，如右图所示. 特别地，当ei = 0时，表示点(xi , yi)在这条直线上. 探究新知 因此，可以用这个竖直距离之和来刻画各样本观测数据与直线的“整体接近程度”. 在实际应用中，因为绝对值使得计算不方便，所以人们通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和来刻画“整体接近程度”. 在上式中，，是已知的成对样本数据，所以由和所决定，即它是和的函数.因为还可以表示为，即它是随机误差的平方和，这个和当然越小越好，所以我们取使达到最小的和的值，作为截距和斜率的估计值. 下面利用成对样本数据求使取最小值的，. 探究新知 记，.因为 ， 注意到 探究新知 所以 . 上式右边各项均为非负数，且前项与无关.所以，要使取到最小值，后一项的值应为0，即.此时 . 上式是关于的二次函数，因此要使取得最小值，当且仅当的取值为 . 综上，当，的取值为(2)时，达到最小. 探究新知 经验回归方程与最小二乘估计： 我们将称为Y 关于x 的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫最小二乘法，求得的 , 叫做b,a的最小二乘估计． 注意:（1）经验回归直线必过样本中心 ; （2） 与相关系数r符号相同. 残差分析 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第 ... ...
