第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积 8.1.1 向量数量积的概念 新课程标准解读 核心素养 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义 数学抽象 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系 数学运算 3.会运用数量积表示两个向量的夹角，会运用数量积判断两个平面向量的垂直关系 逻辑推理 我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功.如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为｜F｜ N，小车在水平面上位移s的大小为｜s｜ m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W＝｜F｜｜s｜cos θ. 【问题】 （1）显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之间有什么关系？ （2）给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由. 知识点一 两个向量的夹角 定义 给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的 为向量a与向量b的夹角，记作 范围 特例 ＜a，b＞＝0 a与b ＜a，b＞＝π a与b ＜a，b＞＝ a与b垂直，记作 ，规定 与任意向量垂直 【想一想】 如果a，b是两个非零向量，那么＜a，b＞＝＜b，a＞成立吗？ 如图，在△ABC中，，的夹角与，的夹角的关系为 . 知识点二 向量的数量积 1.定义：当a与b都是非零向量时，称 为向量a与b的数量积（也称为内积），记作a·b，即a·b＝ . 2.两个非零向量a，b的数量积的性质 不等式 ｜a·b｜ ｜a｜｜b｜ 恒等式 a·a＝ ＝ ，即｜a｜＝ 向量垂直 的充要条件 a⊥b 3.投影向量及向量数量积的几何意义 （1）设非零向量＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A'，B'，则称向量为向量a在直线l上的 或 ； （2）如果a，b都是非零向量，则称 为向量a在向量b上的投影的数量； （3）两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的 与b的模的乘积.这就是两个向量数量积的几何意义. 【想一想】 1.向量的数量积a·b与向量加法、减法和数乘的区别是什么？ 2.根据向量数量积的定义，如何求两个非零向量a与b的夹角？ 3.一个向量在一个非零向量上的投影，与这个非零向量共线吗？若共线，它们的方向相同还是相反？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两向量的数量积是一个实数.（ ） （2）向量a在b上的投影仍为向量.（ ） （3）向量a在b方向上的投影的数量与向量b在a方向上的投影的数量相等.（ ） 2.已知平面向量｜a｜＝2，｜b｜＝3，＜a，b＞＝，则a·b＝（ ） A.2 B.3 C.6 D.0 3.已知｜a｜＝3，向量a与b的夹角为，则a在b上的投影的数量为（ ） A. B. C. D. 4.已知｜m｜＝2，m·n＝8，m与n的夹角为60°，则｜n｜＝ . 题型一 向量的数量积 【例1】 已知｜a｜＝3，｜b｜＝6，当①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角是60°时，分别求a·b. 尝试解答 通性通法 求向量的数量积时，若已知向量的模及其夹角，则可直接利用公式a·b＝｜a｜｜b｜cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，两 ... ...
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