7.5 正态分布 新课程标准解读 核心素养 1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量 数学抽象 2.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征 直观想象 3.了解正态分布的均值、方差及其含义，并会用正态分布去解决实际问题 数学建模、数学运算 （1）一所学校同年级的同学，身高特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右； （2）某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少. 【问题】 生活中像上述这样的现象很多，那么如何用数学模型来刻画呢？ 知识点一 正态分布 1.连续型随机变量 除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为 ，我们称这类随机变量为连续型随机变量. 2.正态曲线 若f（x）＝，x∈R，其中μ∈R，σ＞0为参数，我们称f（x）为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线（如图）. 3.正态分布 （1）若随机变量X的概率分布密度函数为f（x），则称随机变量X服从正态分布，记为 .当μ＝ ，σ＝ 时，称随机变量X服从标准正态分布； （2）若X～N（μ，σ2），则E（X）＝ ，D（X）＝ . 4.正态曲线的性质 （1）曲线在 轴的上方，与x轴不相交； （2）曲线是单峰的，关于直线 对称； （3）曲线在 处达到峰值 ； （4）当｜x｜ 时，曲线 x轴. 【想一想】 若随机变量X～N（μ，σ2），则X是离散型随机变量吗？ 知识点二 3σ原则 1.假设X～N（μ，σ2），可以证明：对给定的k∈N*，P（μ－kσ≤X≤μ＋kσ）是一个只与k有关的定值.特别地， P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7， P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 5， P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997 3. 2.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 3.在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有 ，通常认为这种情况几乎不可能发生. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）正态曲线中参数μ，σ的意义分别是随机变量的均值与标准差.（ ） （2）正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的.（ ） （3）正态曲线可以关于y轴对称.（ ） 2.如果ξ～N（μ，σ2），且E（ξ）＝3，D（ξ）＝1，那么P（2≤ξ≤4）的值约为（ ） A.0.5 B.0.682 7 C.0.954 5 D.0.997 3 3.若随机变量X～N（0，1），则P（X＜0）＝ . 题型一 正态曲线及其特点 【例1】 （1）（多选）已知三个正态密度函数φi（x）＝（x∈R，i＝1，2，3）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A.σ1＝σ2 B.μ1＞μ3 C.μ1＝μ2 D.σ2＜σ3 （2）已知正态曲线的函数解析式为f（x）＝（x∈R），则μ＝ ，σ＝ . 通性通法 由正态曲线确定均值与方差的方法 正态分布的两个重要参数是μ与σ2，μ刻画了随机变量取值的平均水平，σ2是衡量随机变量总体波动大小的特征数，因此我们由正态曲线的形状与位置可比较参数的大小，反之利用参 ... ...
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