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课件网) 7.5 正态分布 新课程标准解读 核心素养 1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量 数学抽象 2.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直 观，了解正态分布的特征 直观想象 3.了解正态分布的均值、方差及其含义，并会用 正态分布去解决实际问题 数学建模、 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 （1）一所学校同年级的同学，身高特别高的同学比较少，特别矮的 同学也不多，大都集中在某个高度左右；（2）某种电子产品的 使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对 较少. 【问题】 生活中像上述这样的现象很多，那么如何用数学模 型来刻画呢？ 知识点一 正态分布 1. 连续型随机变量 除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型 的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率 为 ，我们称这类随机变量为连续型随机变量. 0 2. 正态曲线 若f（x）＝ ，x∈R，其中μ∈R，σ＞0为参数， 我们称f（x）为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简 称正态曲线（如图）. 3. 正态分布 （1）若随机变量X的概率分布密度函数为f（x），则称随机变量 X服从正态分布，记为 .当μ＝ ， σ＝ 时，称随机变量X服从标准正态分布； （2）若X～N（μ，σ2），则E（X）＝μ，D（X）＝ . X～N（μ，σ2） 0 1 σ2 4. 正态曲线的性质 （1）曲线在 轴的上方，与x轴不相交； （2）曲线是单峰的，关于直线 对称； （3）曲线在 处达到峰值 ； （4）当｜x｜ 时，曲线 x轴. x x＝μ x＝μ 无限增大 无限接近 【想一想】 若随机变量X～N（μ，σ2），则X是离散型随机变量吗？ 提示：若X～N（μ，σ2），则X不是离散型随机变量，由正态分布 的定义： P（a≤X≤b）为区域B的面积，X可取[a，b]内的任何 值，故X不是离散型随机变量，它是连续型随机变量. 知识点二 3σ原则 1. 假设X～N（μ，σ2），可以证明：对给定的k∈N*，P（μ－ kσ≤X≤μ＋kσ）是一个只与k有关的定值.特别地， P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7， P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 5， P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997 3. 2. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量 X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 3. 在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内， 而在此区间以外取值的概率大约只有 ，通常认为这种 情况几乎不可能发生. 0.002 7 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）正态曲线中参数μ，σ的意义分别是随机变量的均值与标准 差. （ √ ） （2）正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变 化而变化的. （ × ） （3）正态曲线可以关于y轴对称. （ √ ） √ × √ 2. 如果ξ～N（μ，σ2），且E（ξ）＝3，D（ξ）＝1，那么P （2≤ξ≤4）的值约为（ ） A. 0.5 B. 0.682 7 C. 0.954 5 D. 0.997 3 解析： ∵ξ～N（μ，σ2），且E（ξ）＝3，D（ξ）＝1， ∴ξ～N（3，1），∴P（2≤ξ≤4）＝P（3－1≤ξ≤3＋1）＝P （μ－σ≤ξ≤μ＋σ）≈0.682 7. 3. 若随机变量X～N（0，1），则P（X＜0）＝ . 解析：由标准正态曲线关于y轴对称可知P（X＜0）＝ . 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 题型一 正态曲线及其特点 【例1】 （1）（多选）已知三个正态密度函数φi（x）＝ （x∈R，i＝1，2，3）的图象如图所示，则下列结 论正确的是（ AD ） A. σ1＝σ2 B. μ1＞μ3 C. μ1＝μ2 D. σ2＜σ3 AD 解析： 根据正态曲线关于直线x＝ ... ...
