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课件网) 培优课 二项式定理的综合应用 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 题型一 求两个多项式乘积的特定项问题 【例1】 （1）（x2＋1）（2x－ ）6的展开式中常数项为 ； 解析： （2x－ ）6展开式的通项为Tk＋1＝ ·（2x）6－k （－x－1）k＝（－1）k·26－k x6－2k，令6－2k＝0，则k＝3， 令6－2k＝－2，则k＝4，所以常数项为－23 ＋22 ＝－160 ＋60＝－100. － 100 （2）（2022·新高考Ⅰ卷13题） （x＋y）8的展开式中x2y6的系 数为 （用数字作答）. 解析： （x＋y）8展开式的通项Tr＋1＝ x8－ryr，r＝0， 1，…，7，8.令r＝6，得T6＋1＝ x2y6，令r＝5，得T5＋1＝ x3y5，所以 （x＋y）8的展开式中x2y6的系数为 － ＝－28. －28 通性通法 两个二项式乘积的展开式中特定项问题 （1）分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点； （2）找到构成展开式中特定项的组成部分； （3）分别求解再相乘，求和即得. 【跟踪训练】 1. 若（2x－ ）n的展开式中二项式系数之和为32，则（x＋2y）（x －y）n的展开式中x2y4的系数为 . 解析：由（2x－ ）n的展开式中二项式系数之和为32得，2n＝ 32，故n＝5，（x－y）n的展开式通项为（－1）k x5－kyk，故 x2y4的项为（－1 ＋（－1 2 ， k1＝4，k2＝3，即（－1）4 x2y4＋（－1）32 x2y4＝－15x2y4. －15 2. 已知（2x－a）（x＋ ）6的展开式中x2的系数为－240，则a ＝ . 解析：（x＋ ）6的展开式的通项公式为Tk＋1＝ x6－k（ ）k＝ 2kx6－2k（k＝0，1，2，3，4，5，6），令6－2k＝1，得k＝ （舍去）；令6－2k＝2，得k＝2.故（2x－a）（x＋ ）6的展开 式中x2的系数为－a 22＝－240，解得a＝4. 4 题型二 三项展开式问题 【例2】 （2024·青岛月考）（1＋x＋x2）5展开式中所有项的系数和 是 ，含x3的项的系数是 . 解析：令x＝1，则所有项的系数和是（1＋1＋12）5＝243； 243 30 法一 因为（1＋x＋x2）5的通项为 （1＋x）5－rx2r（r＝0，1， 2，3，4，5），所以当r＝0时，需求（1＋x）5展开式中的x3项为 x3；当r＝1时，需求（1＋x）4展开式中的x项为 x；所以含x3的项 的系数是 ＋ ＝20＋10＝30. 法二 （1＋x＋x2）5是5个式子（1＋x＋x2）连乘，欲求含x3＝ x·x·x＝x2·x的项的系数，只需在5个式子（1＋x＋x2）中选三个括号 提供x，两个括号提供1；或者一个括号提供x，一个括号提供x2，三 个括号提供1即可，所以含x3的项的系数是 ＋ ＝10＋20 ＝30. 通性通法 解决三项展开式问题的方法 【跟踪训练】 1. （x＋2＋ ）3展开式中的常数项为（ ） A. 6 B. 15 C. 20 D. 28 解析： 因为（x＋2＋ ）3＝［ ］3＝ ，所以 展开式中的常数项即分子（x＋1）6展开式中x3的系数，即 ＝ 20.故选C. 2. （x－2y＋z）8的展开式共有 项，其中含x3y3z2的项的系数 是 .（用数字作答） 解析：因为（x－2y＋z）8＝[（x－2y）＋z]8＝ （x－2y）8 ＋ （x－2y）7z＋…＋ （x－2y）z7＋ z8，由二项式定理 可知，（x＋y）n展开式中共有n＋1项，所以（x－2y＋z）8的展 开式共有9＋8＋…＋2＋1＝45项.（x－2y＋z）8是8个（x－2y＋ z）连乘，欲求x3y3z2的系数，只需要在8个（x－2y＋z）式子中 选定三个（x－2y＋z）内提供x，在剩下的5个（x－2y＋z）中 选定三个（x－2y＋z）内提供y，剩下的最后两个（x－2y＋z） 提供z，则x3y3z2的系数是 · （－2）3· ＝－4 480. 45 －4 480 题型三 有关整除或求余数问题 【例3】 （1）今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期 （ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 解析： 求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数.因为 810＝（7＋ ... ...
