参考答案与详解 章末检测（六） 平面向量及其应用 1.D 2.B 3.C 4.C 5.B 根据已知条件可知，在△ABC中，AB＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，所以C＝45°，由正弦定理，得＝，所以BC＝＝10.故选B. 6.D ∵三角形有两个解，∴bsin A＜x＜b，即＜x＜.故选D. 7.C 因为ccos B＝b（a－cos C），所以由正弦定理可得sin Ccos B＝asin B－sin Bcos C，可得sin Ccos B＋sin Bcos C＝sin（B＋C）＝sin A＝asin B，可得a＝ab，可得b＝，因为△ABC的面积为S＝ccos A＝bcsin A＝××c×sin A，可得tan A＝，又A∈（0，π），所以A＝，故选C. 8.C 依题意得｜｜＝｜｜＝，｜｜＝2，∠AOP＝，∠BOP＝，所以·＝｜｜·｜｜cos＝×2×（－）＝－2，·＝｜｜·｜｜cos＝×2×＝2，所以·（＋）＝－·（－＋－）＝－·－·＋2｜｜2＝2－2＋2×22＝8.故选C. 9.AB 因为a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，（a－c）·（b－c）≤0，所以a·b－c·（a＋b）＋c2≤0，所以c·（a＋b）≥1，而｜a＋b－c｜＝＝＝≤＝1，所以C、D不符合要求.故选A、B. 10.BC ∵cos2A－cos2B－cos2C＝cos Acos B＋cos C－cos 2B，∴（1－sin2A）－（1－sin2B）－（1－sin2C）＝cos Acos B－cos（A＋B）－（1－2sin2B），∴sin Asin B＋sin2B＋sin2A－sin2C＝0，由正弦定理可得ab＋b2＋a2－c2＝0，∴cos C＝＝－，∵0＜C＜π，∴C＝，c2＝3＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2＋ab≥2ab＋ab＝3ab，当且仅当a＝b＝1时取等号，∴ab≤1，∴S＝absin C≤.故选B、C. 11.ACD 对于A，由＝＋，得－＝－，即＝，因此点M是边BC的中点，故A正确；对于B，＝2－，－＝－，∴＝，则点M在边CB的延长线上，∴B不正确；对于C，设BC的中点为D，则＝－－＝＋＝2，由重心性质可知C正确； 对于D，＝x＋y，且x＋y＝，∴＝x＋（－x）·（＋），∴－＝（－x），分别取AB，AC的中点为N，F，则－＝－＝，即点M在过AB中点且平行BC的直线上，即M在上，∴M在△ABC的中位线上，∴△MBC的面积是△ABC面积的，选项D正确.故选A、C、D. 12.4 解析：依题意得a＋b＝（3，k＋2），由a＋b与a共线，得3×k－1×（k＋2）＝0，解得k＝1，所以a·b＝2＋2k＝4. 13.2 解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系（图略），则由题意得A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（1，1），M（，），所以＝（－，－），＝（－，），所以·＝－＝2. 14. 解析：因为S△ABC＝absin C＝×3×b×＝，可得b＝5，根据余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝19，故c＝，不妨取AB的中点为M，故＝（＋），故｜｜＝ ＝＝.即AB边上的中线长为. 15.解：（1）因为＝（－1，3），＝（3，m），＝（1，n）， 所以＝＋＋＝（3，3＋m＋n）， 因为∥，设＝λ， 即 解得n＝－3. （2）因为＝＋＝（2，3＋m）， ＝＋＝（4，m－3）， 又⊥，所以·＝0， 即8＋（3＋m）（m－3）＝0， 解得m＝±1. 16.解：（1）在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝25－24cos ＝13，解得AC＝，设R为△ABC外接圆半径，由正弦定理得2R＝＝＝＝，即BD＝. （2）∵BD为直径，∴∠DAB＝∠DCB＝， ∴AD＝＝，CD＝＝，又∠ADC＝π－＝， ∴S△ACD＝AD·CDsin∠ADC＝×××＝. 17.解：①需要测量的数据有：A观测M，N的俯角α1，β1，B观测M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d（如图所示）. ②法一 第一步：计算AM.在△ABM中，由正弦定理得，AM＝； 第二步：计算AN.在△ABN中，由正弦定理得， AN＝； 第三步：计算MN.在△AMN中，由余弦定理得， MN＝. 法二 第一步：计算BM.在△ABM中，由正弦定理得， BM＝； 第二步：计算BN.在△ABN中，由正弦定理得， BN＝； 第三步：计算MN.在△BMN中，由余弦定理得， MN＝. 18.解：（1）因为m∥n， 所以（b ... ...
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